Кредиты. Дифференцированные платежи часть 1

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. По данным задачи составим таблицу, в которой будет три столбца: 1е число (долг с процентами), 2е-14-е числа (выплаты) и 15е число (остаток долга). Обозначим месяц, в который планируется взять кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A$. Пусть $x$ — сумма, на которую каждый месяц уменьшается остаток долга. В нулевом месяце остаток долга равен исходной сумме долга $A$, в первом $A-x$, во втором $A-2x$, в третьем $A-3x$, в четвертом $A-4x$, в пятом $A-5x=0$, так как к концу пятого месяца долг будет выплачен полностью. Отсюда $A=5x$, и все остатки долга мы теперь можем выразить через величину $x$: остаток долга в нулевом месяце равен $A=5x$, в первом $A-x=4x$, во втором $A-2x=3x$, в третьем $A-3x=2x$, в четвертом $A-4x=x$, в пятом $A-5x=0$. Так как процентная ставка равна $r=1%$, а проценты всегда начисляются на предыдущий остаток долга, то в первом месяце долг с процентами будет равен $5x+0,01\cdot 5x$, во втором $4x+0,01\cdot 4x$, в третьем $3x+0,01\cdot 3x$, в четвертом $2x+0,01\cdot 2x$ и в пятом $x+0,01\cdot x$. Выплаты в каждый месяц представляют собой разность между долгом с процентами в этом месяце и отстатком долга, который должен остаться после выплаты. Таким образом, выплата в первом месяце равна $S_1=5x+0,01\cdot 5x-4x=x+0,01\cdot 5x$, во втором $S_2=4x+0,01\cdot 4x-3x=x+0,01\cdot 4x$, в третьем $S_3=3x+0,01\cdot 3x-2x=x+0,01\cdot 3x$, в четвертом $S_4=2x+0,01\cdot 2x-x=x+0,01\cdot 2x$ и в пятом $S_5=x+0,01\cdot x-0=x+0,01\cdot x$. 1е (долг с %) 2е-14е (выплаты) 15е (остаток долга) 0-й $5x$ 1-й $5x+0,01\cdot 5x$ $x+0,01\cdot 5x$ $4x$ 2-й $4x+0,01\cdot 4x$ $x+0,01\cdot 4x$ $3x$ 3-й $3x+0,01\cdot 3x$ $x+0,01\cdot 3x$ $2x$ 4-й $2x+0,01\cdot 2x$ $x+0,01\cdot 2x$ $x$ 5-й $x+0,01\cdot x$ $x+0,01\cdot x$ $0$ Пусть $S$ — общая сумма выплат. Для вычисления общей суммы выплат сложим все выражения, указанные в столбце с выплатами, причем для удобства сложим сначала все первые слагаемые, а затем все вторые. Тогда $$S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5=5x+0,01\cdot(5x+4x+3x+2x+x)=$$ $$=A+0,01\cdot 15x=A+0,03A=1,03A,$$ где учтено, что $A=5x$ или $x=\cfrac{1}{5}A$. Значит, общая сумма выплат $S$ составляет $103%$ от взятой в кредит суммы $A$. Ответ: $103$. Решение. По данным задачи составим таблицу, в которой будет три столбца: долг с процентами, выплаты и остаток долга. Обозначим месяц, в который планируется взять кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A$. Пусть $x$ — сумма, на которую каждый месяц уменьшается остаток долга. В нулевом месяце остаток долга равен исходной сумме долга $A$, в первом $A-x$, во втором $A-2x$, и так далее, в пятом $A-5x$, а в шестом $A-6x=0$ так как к концу шестого месяца долг будет выплачен полностью. Отсюда $A=6x$, и все остатки долга мы теперь можем выразить через величину $x$: остаток долга в нулевом месяце равен $A=6x$, в первом $A-x=5x$, во втором $A-2x=4x$, и так далее, в пятом $A-5x=x$, в шестом $A-6x=0$. Пусть процентная ставка равна $r%$. Так как проценты всегда начисляются на предыдущий остаток долга, то в первом месяце долг с процентами будет равен $6x+\cfrac{r}{100}\cdot 6x$, во втором $5x+\cfrac{r}{100}\cdot 5x$, и так далее, в пятом $2x+\cfrac{r}{100}\cdot 2x$, а в шестом $x+\cfrac{r}{100}\cdot x$. Выплаты в каждый месяц представляют собой разность между долгом с процентами в этом месяце и отстатком долга, который должен остаться после выплаты. Таким образом, выплата в первом месяце равна $S_1=x+\cfrac{r}{100}\cdot 6x$, во втором $S_2=x+\cfrac{r}{100}\cdot 5x$, и так далее, в пятом $S_5=x+\cfrac{r}{100}\cdot 2x$ и в шестом $S_6=x+\cfrac{r}{100}\cdot x$. долг с % выплаты остаток долга 0-й $6x$ 1-й $6x+\cfrac{r}{100}\cdot 6x$ $x+\cfrac{r}{100}\cdot 6x$ $5x$ 2-й $5x+\cfrac{r}{100}\cdot 5x$ $x+\cfrac{r}{100}\cdot 5x$ $4x$ … … … … 5-й $2x+\cfrac{r}{100}\cdot 2x$ $x+\cfrac{r}{100}\cdot 2x$ $x$ 6-й $x+\cfrac{r}{100}\cdot x$ $x+\cfrac{r}{100}\cdot x$ $0$ Пусть $S$ — общая сумма выплат. Для вычисления общей суммы выплат сложим все выражения, указанные в столбце с выплатами, причем для удобства сложим сначала все первые слагаемые, а затем все вторые. Тогда $$S=S_1+S_2+\ldots+S_5+S_6=6x+\cfrac{r}{100}\cdot(x+2x+\ldots +5x+6x)=$$ $$=A+\cfrac{r}{100}\cdot \cfrac{x+6x}{2}\cdot 6=A+\cfrac{r}{100}\cdot\cfrac{7x\cdot 6}{2}=A+\cfrac{r}{100}\cdot\cfrac{7}{2}A=A\left(1+\cfrac{7r}{200}\right)=1,63A,$$ где учтено, что $A=6x$, а также использована формула суммы арифметической прогрессии. Значит, $\cfrac{7r}{200}=\cfrac{63}{100}$, откуда $r=18%$. Ответ: $18%$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. По данным задачи составим таблицу, в которой будет три столбца: долг с процентами, выплаты и остаток долга. Обозначим месяц, в который планируется взять кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A$. Пусть $x$ — сумма, на которую каждый месяц уменьшается остаток долга. В нулевом месяце остаток долга равен исходной су...