Вклады часть 2

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. Рассмотрим сначала счет мистера Джонсона. Для определения суммы вклада через $n$ лет воспользуемся приведенными выше рассуждениями. В данном случае $A_0 = x = 6000$ рублей, а $k_1=1+\cfrac{30}{100}=1,3$. Тогда через $n$ лет на счете мистера Джонсона будет сумма $$ A_n = 6000 \cdot (1,3)^n + 6000 \cdot \left(1+1,3+(1,3)^2+\ldots +(1,3)^{n-1} \right) =$$ $$ = 6000 \cdot \left(1+1,3+(1,3)^2+\ldots +(1,3)^{n-1}+ (1,3)^n\right)=. $$ $$ = 6000 \cdot \frac{1-(1,3)^{n+1}}{1-1,3}=20000 \cdot \left((1,3)^{n+1}-1 \right). $$ Здесь была использована формула суммы геометрической прогрессии. Для счета мистера Брауна $B_0 = y = 13800$ рублей, а $k_2=1+\cfrac{69}{100}=1,69=(1,3)^2$. Тогда через $m$ лет на его счете будет сумма $$ B_m = 13800 \cdot (1,69)^m + 13800 \cdot \left(1+1,69+(1,69)^2+\ldots +(1,3)^{m-1} \right) =$$ $$ = 13800 \cdot \left(1+(1,3)^2+\ldots +(1,3)^{2(m-1)}+ (1,3)^{2m}\right)=. $$ $$ = 13800 \cdot \frac{1-(1,3)^{2m+2}}{1-1,69}=20000 \cdot \left((1,3)^{2m+2}-1 \right). $$ Суммы на этих двух вкладах должны сравняться, поэтому $A_n=B_m$. Срок действия вклада мистера Джонсона на 7 лет больше, чем срок действия вклада мистера Брауна, и составляет $n=m+7$ лет. С учетом этого, из равенства $A_n=B_m$ следует равенство $(1,3)^{m+7+1}=(1,3)^{2m+2}$, откуда, приравнивая показатели, найдем $m=6$. Следовательно, суммы вкладов мистера Джонсона и мистера Брауна сравняются в $2017+6=2023$ году. Ответ: в $2023$ году. Решение. Пусть в январе 2000 года вкладчик положил на счет сумму $A$. В январе 2001 года после начисления процентов сумма на счете стала равной $A\cdot \left(1+\cfrac{x}{100} \right)$, после чего вкладчик снял со счета сумму $\cfrac{1}{5}A$. Процентная ставка на 2001 год составляет $(30-x)%$, тогда к январю 2002 года сумма на счете оказалась равной $$ f(x)=\left( A\cdot \left(1+\cfrac{x}{100} \right) -\cfrac{1}{5}A \right)\cdot \left( 1+\cfrac{30-x}{100}\right). $$ Введем обозначение $p=\cfrac{x}{100}$. Преобразуя выражение для $f(x)$ и переходя к переменной $p$, получим $$ f(x)=\left( \cfrac{4}{5} A +A\cdot \cfrac{x}{100}\right)\cdot \left( 1+0,3-\cfrac{x}{100}\right)=$$ $$ =A\cdot \left( \cfrac{4}{5} + p\right) \left(1,3-p \right)=A\cdot \left( -p^2+0,5p+1,3\cdot 0,8 \right). $$ Это квадратичная функция относительно переменной $p$, причем коэффициент при старшей степени отрицательный, а значит ее графиком будет парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение такой квадратичной функции достигается в вершине $p_{в}=\cfrac{-0,5}{-2}=0,25$. Тогда $x_{в}=100p_{в}=25$. Ответ: $25$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. Пусть в январе 2019 года вкладчик положил на счет сумму $A$. В январе 2020 года после начисления процентов сумма на счете стала равной $A\cdot \left(1+\cfrac{x}{100} \right)$, после чего вкладчик снял со счета сумму $\cfrac{1}{20}A$. Процентная ставка на 2020 год составляет $(25-x)%$, тогда к январю 2021 года сумма на счете оказалась равной $$ f(x)=\left( A\cdot \left(1+\cfrac{x}{100} \right) -\cfrac{1}{20}A \right)\cdot \left( 1+\cfrac{25-x}{100}\right). $$ Введем обозначение $p=\cfrac{x}{100}$. Преобразуя выражение для $f(x)$ и переходя к переменной $p$, получим $$ f(x)=\left( \cfrac{19}{20} A +A\cdot \cfrac{x}{100}\right)\cdot \left( 1+0,25-\cfrac{x}{100}\right)=$$ $$ =A\cdot \left( \cfrac{19}{20} + p\right) \left(\cfrac{5}{4}-p \right)=A\cdot \left( -p^2+0,3p+\cfrac{5}{4}\cdot \cfrac{19}{20} \right). $$ Это квадратичная функция относительно переменной $p$, причем коэффициент при старшей степени отрицательный, а значит ее графиком будет парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение такой квадратичной функции достигается в вершине $p_{в}=\cfrac{-0,3}{-2}=0,15$. Тогда $x_{в}=100p_{в}=15$. Ответ: $15$.