Вклады часть 1

Решение. Пусть $S$ — начальная величина вклада, $p%$ — процентная ставка годового дохода. Обозначим $q =1+ \cfrac{p}{100}$. Тогда через год сумма на вкладе составляла $S\cdot q$, через два года — $S\cdot q^2$, через три года — $S\cdot q^3$. Из условия задачи следует система уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} S q - S = 40\,000,\\ S q^3 - S q = 86\,100, \end{array} \right. $$ или $$ \left\{\begin{array}{l} S (q-1) = 40\,000,\\ S q(q-1)(q+1) = 86\,100, \end{array} \right. $$ Разделив второе уравнение на первое, получим $$ q(q+1) = \cfrac{861}{400}, $$ что приводится к квадратному уравнению $$q^2+q-\frac{861}{400}=0.$$ Оставляя только положительное решение полученного квадратного уравнения $q = 1,05$, находим из первого уравнения исходной системы величину $S = 800\,000$. Ответ: $800000$ у.е. Решение. Пусть на каждый из вкладов внесена сумма $S$. По вкладу <<А>> начисляется $p_1=10%$ ежегодно, через три года на вкладе <<А>> окажется сумма $S\cdot(1,1)^3 $. По вкладу <<Б>> за первые два года начисляется $p_2=11%$ ежегодно, через два года на вкладе <<Б>> окажется сумма $(1,11)^2 S$. Процентная ставка за третий год неизвестна, обозначим ее $p_3%$. Тогда в конце третьего года на вкладе <<Б>> будет сумма $S\cdot (1,11)^2 \cdot q_3$, где $q_3=1 + \cfrac{p_3}{100}$. Так как вклад <<Б>> должен быть выгоднее вклада <<А>>, получаем неравенство $$ S\cdot (1,11)^2 \cdot q_3 > S\cdot(1,1)^3, $$ или $$ (1,11)^2 \cdot q_3 > (1,1)^3, $$ откуда $$q_3>\frac{(1,1)^3}{(1,11)^2}.$$ Тогда, подставляя вместо $q_3$ выражение $1 + \cfrac{p_3}{100}$ и решеая неравенство относительно $p_3$, получим $$ p_3 > 100 \cdot \frac{(1,1)^3-(1,11)^2}{(1,11)^2} \approx 8,03. $$ Поскольку нас интересует наименьшее целое число $p_3$, для которого это неравенство выполнено, получаем $p_{3min} = 9$. Ответ: $9$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. Пусть на каждый из вкладов внесена сумма $S$. По вкладу <<А>> начисляется $p_1=20%$ ежегодно, через три года на вкладе <<А>> окажется сумма $S\cdot(1,2)^3 $. По вкладу <<Б>> за первые два года начисляется $p_2=21%$ ежегодно, через два года на вкладе <<Б>> окажется сумма $(1,21)^2 S$. Процентная ставка за третий год неизвестна, обозначим ее $p_3%$. Тогда в конце третьего года на вкладе <<Б>> будет сумма $S\cdot (1,21)^2 \cdot q_3$, где $q_3=1 + \cfrac{p_3}{100}$. Так как вклад <<Б>> должен быть выгоднее вклада <<А>>, получаем неравенство $$ S\cdot (1,21)^2 \cdot q_3 > S\cdot(1,2)^3, $$ или $$ (1,21)^2 \cdot q_3 > (1,2)^3, $$ откуда $$q_3>\frac{(1,2)^3}{(1,21)^2}.$$ Тогда, подставляя вместо $q_3$ выражение $1 + \cfrac{p_3}{100}$ и решеая неравенство относительно $p_3$, получим $$ p_3 > 100 \cdot \frac{(1,2)^3-(1,21)^2}{(1,21)^2} \approx 18,02. $$ Поскольку нас интересует наименьшее целое число $p_3$, для которого это неравенство выполнено, получаем $p_{3min} = 19$. Ответ: $19$. Решение. Пусть и Миша, и Маша положили на свои счета по $S$ рублей. Сначала рассмотрим счет Миши. Через 1 год после начисления процентов и снятия денег у Миши на счете было $S\cdot 1,1-5000$ рублей. Через 2 года после начисления процентов и внесения 5000 руб. у Миши на счете было $(S\cdot 1,1-5000)\cdot 1,1+5000$ рублей. Через 3 года у него было $S_1=((S\cdot 1,1-5000)\cdot 1,1+5000)\cdot 1,1$ рублей. Аналогично рассмотрим действия со счетом Маши. Через 1 год после начисления процентов и внесения денег у Маши на счете было $S\cdot 1,1+5000$ рублей. Через 2 года после начисления процентов и снятия 5000 руб. у Маши на счете было $(S\cdot 1,1+5000)\cdot 1,1-5000$ рублей. Через 3 года у нее было $S_2=((S\cdot 1,1+5000)\cdot 1,1-5000)\cdot 1,1$ рублей. Тогда разница между суммами на счете у Миши и Маши через три года будет $$S_1-S_2=S\cdot(1,1)^3 -5000\cdot(1,1)^2+5000 \cdot1,1-$$ $$-\left(S\cdot(1,1)^3 +5000\cdot(1,1)^2-5000 \cdot1,1\right)=$$ $$=-2\cdot 5000\cdot ((1,1)^2-1,1)=-10000\cdot 0,11=-1100.$$ Значит, через 3 года денег на счете будет иметь Маша, на $1100$ рублей. Ответ: Маша, на $1100$ рублей.