Графические методы решения Часть 3

Пример 2.58. Условие Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $$ 4x + \left| | x - a|+2x \right| = 8|x + 1| $$ не имеет ни одного корня. Решение Решим задачу графически. Запишем уравнение в виде $$ \left| | x - a|+2x \right| = 8|x + 1|-4x\Longleftrightarrow | x - a|+2x=\pm \left(8|x + 1|-4x \right), $$ поскольку $8|x + 1|-4x \geqslant 0 $ на всей числовой прямой. Построим графики функций $y(x)=| x - a|$, $y_1 (x)=-2x+ \left(8|x + 1|-4x \right)$ и $y_2 (x)=-2x- \left(8|x + 1|-4x \right)$ и выясним, при каких $a$ они не имеют общих точек. Для построения графиков функций $y_1 (x)$ и $y_2 (x)$ раскроем модуль $|x+1|$: $$y_1 (x)= \left\{\begin{array}{l} -14x-8, \mbox{~если~} x\leqslant - 1,\\ 2x+8,~~~\mbox{~если~} x > - 1;\\ \end{array} \right. ~~ y_2 (x)= \left\{\begin{array}{l} 10x+8,~ \mbox{~если~} x\leqslant - 1,\\ -6x-8, \mbox{~если~} x > - 1.\\ \end{array}\right. $$ Исходя из полученных выражений, построим графики этих функций (рис. 16). Для того, чтобы удовлетворить условию задачи, необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых график функции $y(x)$ не имел общих точек с графиками обеих функций $y_1 (x)$ и $y_2 (x)$. Заметим, что $y(x)\geqslant 0$, а $y_2 (x) Ответ $ (- 7;5) $. Пример 2.59. Условие Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $$ \left| | x+a|-2x \right|-3x = 7|x - 1| $$ имеет не более одного корня. Ответ $[-6;4]$.