Графические методы решения Часть 2

Пример 2.46. Условие При каких $a$ уравнение $$ \left| \frac{5}{x} - 4 \right| = ax - 1 $$ имеет на промежутке $(0; + \infty)$ более двух корней? Решение Построим примерный вид графика функции $y = \left| \frac{5}{x} - 4 \right| $ при положительных $x$ (см. рис. 9). Рассмотрим функцию $y = ax - 1$. При всех $a$ график этой функции проходит через точку $(0; - 1)$. Более двух точек пересечения при $x > 0$ с графиком предыдущей функции будет при значениях $a$, располагающимися между $a_1$, соответствующего случаю прохождения прямой $y = ax - 1$ через точку $\left( \frac{5}{4}; 0 \right) $ и $a_2$, соответствующего случаю касания прямой $ y = ax - 1$ и графика функции $y = \left| \frac{5}{x} - 4 \right| $ при $x > \frac{5}{4}$. Из того, что прямая $y = a_1 x - 1$ проходит через точку $\left( \frac{5}{4}; 0 \right)$, следует, что $a_1$ удовлетворяет уравнению $$ 0 = a_1 \cdot \frac{5}{4} - 1 ~~\Longleftrightarrow~~ a_1 = \frac{4}{5}. $$ Из касания прямой $y = a_2 x - 1$ и графика функции и графика функции $y = \left| \frac{5}{x} - 4 \right| $ при $x > \frac{5}{4}$ вытекает, что уравнение $$ 4 - \frac{5}{x} = a_2 x - 1 ~~\Longleftrightarrow~~ a_2 x^2 - 5x + 5 = 0 $$ имеет единственное решение при $x > \frac{5}{4}$. Его дискриминант $$ D = 25 - 20a_2 = 0 ~~\Longleftrightarrow~~ a_2 = \frac{5}{4}, $$ единственный корень $x = 2 > \frac{5}{4}$. Отсюда следует, что исходное уравнение имеет более двух положительных корней при $a \in \left( \frac{4}{5}; \frac{5}{4} \right)$. Ответ $\left( \frac{4}{5}; \frac{5}{4} \right) $. Задача 2.47. Условие При каких $a$ уравнение $$ \left| \frac{6}{x} - 2 \right| = ax - 1 $$ имеет на промежутке $(0; + \infty)$ более двух корней? Ответ $\left( \frac{1}{3}; \frac{3}{8} \right) $.