Графические методы решения Часть 1

Задача 2.40. Условие Найдите, при каких значениях параметра $a$ уравнение $$ \left|x^2 - 6x + 8\right| + \left|x^2 - 6x + 5\right| = a $$ имеет более трех корней? Решение Построим график функции $y_1(x) = \left|x^2 - 6x + 8 \right| + \left|x^2 - 6x + 5\right| $, стоящей в левой части уравнения (рис. 6). 1. При $x\leqslant 1$ $y_1(x)=x^2-6x+8+x^2-6x+5=2x^2-12x+13;$ 2. при $1 \leqslant x\leqslant 2$ $y_1(x)=x^2-6x+8-x^2+6x-5=3;$ 3. при $2 \leqslant x\leqslant 4$ $y_1(x)=-x^2+6x-8-x^2+6x-5=-2x^2+12x-13;$ 4. при $4 \leqslant x\leqslant 5$ $y_1(x)=x^2-6x+8-x^2+6x-5=3;$ 5. При $x\geqslant 5$ $y_1(x)=x^2-6x+8+x^2-6x+5=2x^2-12x+13.$ Запишем эту функцию в более удобном виде и построим ее график. $$ y_1(x)=\left\{\begin{array}{l} 2x^2-12x+13,~~ x\leqslant 1,\\ 3,~~1 \leqslant x\leqslant 2,\\ -2x^2+12x-13,~~2 \leqslant x\leqslant 4,\\ 3,~~4 \leqslant x\leqslant 5,\\ 2x^2-12x+13,~~x\geqslant 5. \end{array}\right. $$ При каждом фиксированном $a$ график функции $y_2(x) = a$, стоящей в правой части, представляет собой прямую, параллельную оси $Ox$. Отсюда (см. рис. 6) наглядно видно: если $a если $a = 3$, то их будет бесконечное множество, так как на отрезках $[1;2]$ и $[4;5]$ графики совпадают; если $3 если $a = 5$, то графики имеют ровно три общие точки. Отсюда непосредственно вытекает, что для того, чтобы графики этих функций имели более трех общих точек, необходимо и достаточно, чтобы $3 \leqslant a Ответ $[3 ; 5) $. Пример 2.42. Условие При каких значениях $a$ уравнение $a(x +3)^2 -2 |x +3 | +2= 0 $ имеет ровно четыре различных решения? Решение Сначала обратим внимание на то, что сами решения находить не требуется. Для упрощения введем новую переменную $t=x+3$ и рассмотрим функцию $$ y=a|t|^2-2|t|+2. $$ Нули этой функции совпадают с корнями уравнения $$a t^2 - 2 |t| + 2 = 0,$$ так как $t^2=|t|^2$. Как известно, чтобы построить график $f(|t|)$, надо построить график функции $f(t)$ в области $t\geqslant 0$ и симметрично отразить его в область $t 0$. Таким образом возникает задача на расположение корней квадратного трехчлена. Задачи такого типа уже решались раньше. Пусть сначала $a>0$. Условия требуемого расположения корней выглядят так: $$ \left\{\begin{array}{l} D>0,\\ f(0)>0,\\ t_0>0, \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 1-2a>0,\\ 2>0,\\ \frac{2}{2a}>0, \end{array}\right. $$ где $D$ - дискриминант квадратного трехчлена, $t_0$ - абсцисса вершины параболы. Решая эту систему, получаем результат $ 0 При $a=0$ функция $f(t)$ становится линейной и, очевидно, невозможно получить четыре корня. При $a 0$, поэтому в этом случае тоже не будет решений. Ответ $\left(0;\frac{1}{2}\right).$