Уравнения и неравенства с модулями и параметрами Часть 3

Задача 2.23. Условие Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$ x^2 - |x - a + 6| = |x + a - 6| - (a - 6)^2 $$ имеет единственное решение. Ответ $4$ и $8$. Пример 2.24. Условие Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$ \left|x-a^2+4a-2 \right|+ \left|x-a^2+2a+3\right|=2a-5$$ имеет хотя бы один корень на отрезке $[5;23]$. Решение Если очень внимательно посмотреть на условие задачи, можно увидеть, что разность выражений, стоящих под знаками модуля, равна правой части: $$ x-a^2+4a-2-x-a^2+2a+3=2a-5.$$ Для наглядности обозначим $ p=x-a^2+4a-2$, $q=x-a^2+2a+3$, тогда получаем $$|p|+|q|=p-q.$$ Это возможно только тогда, когда $$ \left\{ \begin{array}{l} p\geqslant 0, \\ q \leqslant 0, \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-a^2+4a-2\geqslant 0, \\ x-a^2+2a+3 \leqslant 0, \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \geqslant a^2-4a+2 , \\ x\leqslant a^2-2a-3. \end{array}\right. $$ Уравнение имеет хотя бы одно решение на заданном промежутке только если правая граница области решений больше левой, причем правая граница не меньше 5, а левая граница не больше 23. Отсюда получаем: $$\left\{ \begin{array}{l} a^2-4a+2\leqslant a^2-2a-3, \\ a^2-2a-3 \geqslant 5,\\ a^2-4a+2\leqslant 23, \end{array}\right.\hskip-3mm\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a\geqslant 5, \\ (a-4)(a+2) \geqslant 0,\\ (a-7)(a+3)\leqslant 0 \end{array}\right.\hskip-2mm\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a\geqslant 2,5, \\ \left[ \begin{array}{l} -3\leqslant a \leqslant -2,\\ 4\leqslant a \leqslant 7. \end{array}\right. \end{array}\right. $$ Ответ $[4;7]$. Задача 2.25. Условие Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$ \left|x-a^2+a+2\right|+\left|x-a^2+3a-1\right|=2a-3$$ имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу $(4;19)$. Ответ $[1,5;3]\cup[6; +\infty)$.