Уравнения и неравенства с модулями и параметрами Часть 1

Задача 2.11. Условие Решите уравнение $$x^2 - 5x + 6 = |(a + 2)(x -2)|.$$ Решение $$ (x-3)(x-2) = |a+2| \cdot |x-2| . $$ Очень хочется сократить на $x-2$. Но для начала рассмотрим случай $x-2 = 0$ отдельно: $$ 1. \quad \left\{ \begin{aligned} &x-2=0 \\ &0=0 \end{aligned} \right. $$ - уравнение выполнено при всех $a$: $$ \fbox{$x=2; \; a \in \mathbb{R}$} $$ $$ 2. \quad \left\{ \begin{aligned} &x-2>0 \\ &x-3=|a+2| \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &x=3+|a+2| \\ &3+|a+2|-2>0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \fbox{$x=3+|a+2|; \; a \in \mathbb{R}$} $$ Поскольку последнее неравенство выполнено при всех $a$. $$ \begin{aligned} 3. \quad&\left\{ \begin{aligned} &x-2 1 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &x=3-|a+2| \\ &\left[\begin{aligned} &a+2>1 \\ &a+2 Ответ если $a \in (-\infty;- 3)\cup ( -1;+\infty)$, то $x = 2$, $x = 3 \pm (a+2)$; если $ a\in [- 3; - 1]$, то $x = 3 + |a + 2|$, $x = 2$. Пример 2.12. Условие Решите уравнение для любого $a$: $$ 2|x|+|x-3|=a. $$ Решение Параметр здесь присутствует только в правой части уравнения, поэтому будем раскрывать модули в левой части по обычным правилам с помощью метода интервалов. Сразу отметим, что параметр $a$ не может быть отрицательным. $$\left\{\begin{array}{l} x \leqslant 0, \\ -2x - x +3= a, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x\leqslant 0, \\ x =\frac{3 -a}{3}. \end{array} \right. $$ Теперь найдем, при каких $a$ существует это решение: $$ \frac{3 -a}{3}\leqslant 0\Longleftrightarrow a \geqslant 3. $$ Таким образом, из рассмотрения первого промежутка вытекает следующая составляющая основного ответа: Повторим эту операцию для оставшихся областей. $$\left\{\begin{array}{l} 0\leqslant x \leqslant 3, \\ 2x - x +3= a, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 0\leqslant x \leqslant 3, \\ x =a-3. \end{array} \right. $$ Отсюда $0\leqslant a-3 \leqslant 3\Longleftrightarrow 3\leqslant a \leqslant 6$. То есть, $$\left\{\begin{array}{l} x \geqslant 3, \\ 2x + x -3= a, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \geqslant 3, \\ x =\frac{3+a}{3}. \end{array} \right. $$ Тогда $ x =\frac{3+a}{3} \geqslant 3\Longleftrightarrow a \geqslant 6$. Поэтому Обратим внимание на важное отличие этого примера от примеров и задач предыдущего параграфа. В них метод решения зависел в первую очередь от <<поведения>> параметра, то есть при различных значениях параметра $a$ мы применяли различные методы решения. В частности, в примере 1.25. от $a$ зависел даже тип неравенства: при $a = 0$ оно было линейным, при других $a$ - квадратным. В рассматриваемом примере метод решения определяется не значениями параметра $a$, а искомой переменной $x$, то есть модуль раскрывается по определению в зависимости от значения переменной. Запишем теперь ответ в той форме, в какой требуется при решении задач с параметром: для каждого допустимого $a$ должны быть приведены все ответы, а каждое значение параметра должно встречаться только один раз. Очевидно, что при $a При $a\geqslant 3$ находим $x_1 =\frac{3 -a}{3}$ и $ x_2 =a-3$. Причем при $a=3$ эти решения совпадают: $x_1=x_2=0$. Когда $a$ становится больше $6$, первое решение остается решением, а вместо второго, которое существует только при $3\leqslant a \leqslant 6$, появляется $x_3=\frac{3+a}{3}$, существующее при $a \geqslant 6$. Легко проверить, что при $a=6$ $x_2=x_3$, поэтому не важно, к какому промежутку отнести это значение параметра. Ответ если $a \in(-\infty;3)$, то решений нет;если $a=3$, то $x=0$; если $a \in (3; 6]$, то $x =\frac{3 -a}{3}$ и $ x =a-3$; если $a \in (6;+\infty)$, то $x =\frac{3 -a}{3}$ и $x=\frac{3+a}{3}$.