Замена переменной и решение относительно параметра

Пример 1.49. Условие Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$ 27x^6 + (4a - 2x)^3 + 6x^2 + 8a = 4x $$ не имеет корней. Решение Преобразуем исходное уравнение $$ \begin{array}{l} 27x^6 + (4a - 2x)^3 + 6x^2 + 8a = 4x \Longleftrightarrow \\ \qquad\left(3x^2 \right)^3 + 2\left(3x^2\right) = (2x - 4a)^3 + 2(2x - 4a). \end{array} $$ Введем функцию $f(t) = t^3 + 2t$. Очевидно, что данная функция возрастает на всей числовой прямой. С помощью введенной функции уравнение можно записать в виде $$ f\left(3x^2 \right) = f(2x - 4a). $$ Из того, что функция $f(t)$ является монотонно возрастающей, следует, что равные значения функция может принимать только при равных аргументах, следовательно $$ 3x^2 = 2x - 4a \Longleftrightarrow 3x^2 - 2x + 4a = 0. $$ Данное уравнение не имеет решений, если его дискриминант отрицателен: $$ \frac{D}{4} = 1 - 12a \frac{1}{12}. $$ Ответ $\left( \frac{1}{12}; + \infty \right) \vphantom{\int\limits_1}$. Пример 1.51. Условие При каких значениях параметра $a$ уравнение $$ \frac{x^2 - 2x + a^2 - 4a}{x^2 - a} = 0 $$ имеет ровно два различных решения? Решение Отметим, что дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $$ \frac{x^2 - 2x + a^2 - 4a}{x^2 - a} = 0 \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^2 - 2x + a^2 - 4a = 0,\\ x^2 - a \ne 0. \end{array} \right. $$ Квадратное уравнение имеет два различных решения, если его дискриминант положителен: $$ \frac{D}{4} = 1 - a^2 + 4a > 0 \Longleftrightarrow a \in \left(2 - \sqrt 5; 2 + \sqrt 5 \right). $$ Найдем, при каких $a$ знаменатель равен нулю, то есть когда $x^2 = a$. В данной задаче удобнее $a$ выразить через $x$, подставим $a = x^2$ в первое уравнение: $$ x^2 - 2x + x^4 - 4x^2 = 0 \Longleftrightarrow x^4 - 3x^2 - 2x = 0 \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0,\\ x = - 1,\\ x = 2. \end{array} \right. $$ Исключая из промежутка $\left(2 - \sqrt 5; 2 + \sqrt 5 \right)$ найденные значения $a = x^2$, то есть значения $0$, $1$, $4$, получим $$ a \in \left( 2 - \sqrt 5; 0 \right) \cup (0; 1) \cup (1; 4) \cup \left( 4; 2 + \sqrt 5 \right). $$ Ответ $\left( 2 - \sqrt 5; 0 \right) \cup (0; 1) \cup (1; 4) \cup \left( 4; 2 + \sqrt 5 \right)$. *Задача 1.52. Условие При каких значениях параметра $a$ уравнение $$ \frac{2a - x^2 - 3x}{x + a^2} = 0 $$ имеет ровно два различных решения? Решение $$ \frac{2a-x^2-3x}{x+a^2} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &x^2+3x-2a=0 \\ &x+a^2 \neq 0 \end{aligned} \right. $$ Чтобы уравнение имело два решения, нужно, чтобы числитель имел два решения: $$ D=9+8a>0 \quad \Leftrightarrow \quad a>-\frac{9}{8}. $$ Проверим, когда на корнях числителя знаменатель обращается в нуль: $$ \left\{ \begin{aligned} &x=-a^2 \\ &x^2+3x-2a=0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad a^4 - 3a^2 - 2a = 0 \quad \Leftrightarrow \quad a(a^3-3a-2)=0. $$ У кубического многочлена легко подбирается корень $a=-1$, тогда: $$ \begin{array}{l} - \begin{array}{l} a^{3}+0 \cdot a^{2}-3a-2\\ \underline{a^{3}+a^{2}} \end{array} \left|\begin{array}{l} \underline{a+1}\\ a^{2}-a-2\\ \end{array}\right.\\ ~~~~ - \begin{array}{l} -a^{2}-3a\\ \underline{-a^{2}-a}\\ \end{array}\\ ~~~~~~~~~~~ - \begin{array}{l} -2a-2\\ \underline{-2a-2}\\ \end{array}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0 \end{array} $$ Получаем уравнение: $$ a(a+1)(a^2-a-2)=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{aligned} &a = 0 \\ &a = -1 \\ &a = 2 \end{aligned} \right. $$ Данные $a$ стоит исключить из ответа. Ответ $\left( - \frac{9}{8}; - 1 \right) \cup (- 1; 0) \cup (0; 2) \cup \left( 2; + \infty \right)$.