Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра

Пример 1.32. Условие При каких значениях параметра $a$ один из корней уравнения $$ a^2 x^2 + ax - 2 = 0 $$ по модулю больше 1, а другой по модулю меньше 1? Решение Заметим, что при $a = 0$ уравнение не только перестает быть квадратным, но и вообще не имеет корней. Рассмотрим квадратичную функцию при $a\neq 0$. С точки зрения расположения корней условие задачи означает, что один корень принадлежит промежутку $(-1,1)$, а второй корень не принадлежит этому промежутку. Возможны два случая расположения параболы $y = a^2 x^2 + ax - 2 $ относительно точек $1$ и $-1$ (см. рис. 6). Для того, чтобы определить именно такое расположение парабол, нужно, чтобы $f(-1) $ и $f(1)$ имели разные знаки - тогда график функции пересечет ось $Ox$ между этими точками. Это условие можно записать как $$ \begin{array}{l} f(1)f(-1) Ответ $ ( - 2;- 1)\cup (1;2)$. Задача 1.33. Условие Найдите при каких $a$ один из корней уравнения $$ x^2 + 2ax - a^2 + 2 =0 $$ по модулю больше $1$, а второй по модулю меньше $1$. Ответ $(-3; - 1)\cup (1;3)$. Пример 1.37. Условие При каких $m$ выполнено неравенство $$x^{2}+mx+m^{2}+6m Решение Пусть $f(x) = x^2 + mx + m^2 + 6m $. Ветви графика $f(x)$ направлены вверх, по условию $f(x)$ должно быть отрицательным для любого $x \in (1;2)$ (см. рис. 8). Для этого необходимо и достаточно выполнение следующих условий: $$ \left\{\begin{array}{l} f(1) = m^2 + 7m + 1 \leqslant 0,\\ f(2) = m^2 + 8m + 4 \leqslant 0,\\ \end{array} \right. \hskip-2mm\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \frac{-7-3\sqrt{5}}{2} \leqslant m \leqslant \frac{-7+3\sqrt{5}}{2},\\ -4 - 2\sqrt{3} \leqslant m \leqslant -4 + 2\sqrt{3}.\\ \end{array} \right. $$ (Объясните, почему в системе можно не учитывать условие $D > 0$.) Чтобы получить ответ к системе неравенств, необходимо провести сравнение сложных чисел, стоящих в правых и левых частях двойных неравенств. Рассмотрим процедуру сравнения сложных чисел без калькулятора на примере $\frac{-7-3\sqrt{5}}{2}$ и $-4 - 2\sqrt{3}$. Поскольку мы не знаем какое из них больше, поставим между ними галочку $\vee$ (под галочкой подразумевается неизвестный нам знак неравенства). Далее начнем возведением в квадрат убирать радикалы. Рано или поздно станет понятно, как сравнить числа, то есть какой знак представляет собой галочка. Часто встречаются случаи (у нас как раз такой), когда справа и слева стоят отрицательные числа. Возведение в квадрат в такой ситуации является неравносильным переходом, следует умножить неравенство на $ - 1$, поменяв его знак. В этом случае удобно перевернуть галочку (под $\wedge$ подразумевается знак неравенства, обратный исходному). $$ \begin{array}{c} \frac{-7-3\sqrt{5}}{2}~~ \vee~~ -4 - 2\sqrt{3}\\ \Updownarrow\\ \frac{7+3\sqrt{5}}{2}~~ \wedge~~ 4 + 2\sqrt{3}\\ \Updownarrow\\ 7 + 3\sqrt{5}~~ \wedge~~ 8 + 4\sqrt{3}\\ \Updownarrow\\ 3\sqrt{5}~~ \wedge~~ 1 + 4\sqrt{3}\\ \Updownarrow\\ 45~~ \wedge~~ 1 + 8\sqrt{3} + 48\\ \end{array} $$ Перевернутая галочка $\wedge$ представляет собой знак $ $, и справедливо неравенство $\frac{-7-3\sqrt{5}}{2} > -4 - 2\sqrt{3}$. Самостоятельно аналогичным образом без калькулятора докажите, что $\frac{-7+3\sqrt{5}}{2} > -4 + 2\sqrt{3}$. Отсюда вытекает, что решение: $$ \frac{-7-3\sqrt{5}}{2} \leqslant m \leqslant -4 + 2\sqrt{3}. $$ Ответ $ \left[ \frac{-7-3\sqrt{5}}{2}; -4 + 2\sqrt{3}\right]$.