Рациональные системы с параметрами Часть 2

{\example{\label{Sys_14}МГУ, механико-математический ф-т, 2006, задача устного экзамена. Найдите q все значения параметра $a$, при каждом из которых система $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds 2xy-ax-2ay+a^2-2=0, \\ \ds 4x^2+4y^2-8ax-4ay-7a^2-20a=0, \\ \end{array}} \right. $$ имеет ровно два различных решения. }} Решение.\ {Первое уравнение системы преобразуем с помощью группировки, а второе — методом выделения полного квадрата. Система принимает вид: $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds 2y(x-a)-a(x-a)-2=0, \\ \ds 4(x^2-2ax+a^2-a^2)+4(y^2-ay+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4})-7a^2-20a=0, \end{array}} \right.\Longleftrightarrow $$ $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds (2y-a)(x-a)-2=0, \\ \ds 4(x-a)^2+4(y-\frac{a}{2})^2=12a^2+20a, \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow $$ } \caption{К примеру \ref{Sys_14} \label{Sys_14.eps}} $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds \left( y - \frac{a}{2} \right)(x-a)=1, \\ \ds (x-a)^2 + \left( y - \frac{a}{2} \right)^2=3a^2+5a. \\ \end{array}} \right. $$ Тогда после введения новых координат $x'=x-a$ и $\ds y'=y-\frac{a}{2}$ получаем систему уравнений, где первое уравнение описывает гиперболу, а второе — окружность: $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds x'y'=1, \\ \ds \left( x' \right)^2 + \left( y' \right)^2=3a^2+5a. \\ \end{array}} \right. $$ Два различных решения у системы будет тогда и только тогда, когда окружность касается гиперболы в точках $ x'=1,~y'=1$ и $x'=-1,~y'=-1$ (см. рис. \ref{Sys_14.eps}), то есть когда $$2=3a^2+5a\Longleftrightarrow a=-2 \mbox{ или } a= \frac{1}{3}.$$ Ответ: $\ds \frac{1}{3}; ~ -2$. {\problem{МГУ, механико-математический ф-т, 2006, задача устного экзамена. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds 3xy+3ax-ay-a^2-3=0, \\ \ds 9x^2+9y^2-6ax+18ay+7a^2-2a-17=0 \\ \end{array}} \right. $$ имеет ровно два различных решения. }} Решение.\ {Первое уравнение системы преобразуем с помощью группировки, а второе — методом выделения полного квадрата. Система принимает вид: $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds 3x(y+a)-a(y+a)-3=0, \\ \ds (9x^2-6ax)+(9y^2+18ay)+7a^2-2a-17=0, \end{array}} \right.\Longleftrightarrow $$ $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds (3x-a)(y+a)=3, \\ \ds (3x-a)^2+9(y+a)^2=3a^2+2a+17, \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow $$ $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds (x-\frac{a}{3})(y+a)=1, \\ \ds (x-\frac{a}{3})^2+(y+a)^2=\frac{3a^2+2a+17}{9}. \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow $$ Тогда после введения новых координат $u=x-\frac{a}{3}$ и $\ds v=y+a$ получаем систему уравнений, где первое уравнение описывает гиперболу, а второе — окружность: $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds uv=1, \\ \ds u^2 + v^2=\frac{3a^2+2a+17}{9}. \\ \end{array}} \right. $$ Два различных решения у системы будет тогда и только тогда, когда окружность касается гиперболы в точках $ u=1,~v=1$ и $u=-1,~v=-1$, то есть когда $$2=\frac{3a^2+2a+17}{9}\Longleftrightarrow a=-1 \mbox{ или } a= \frac{1}{3}.$$ Ответ: $\ds \frac{1}{3}; ~ -1$. Ответ: $2$; $0$. {\example{МГУ, геологический ф-т, 2007 (июль), \No 7(8). Числа $x,~y,~z$ таковы, что $$ \left\{ \begin{array}{l} \ds x+1 =z+y, \\ \ds xy+z^2+14-7z = 0. \end{array} \right. $$ При каких значениях $z$ сумма $x^2+y^2$ максимальна? Найдите это максимальное значение.}} Решение.\ {В данном случае $z$ играет роль параметра. Попробуем выразить через этот параметр величину $x^2+y^2$. Систему уравнений можно преобразовать следующим образом: $$ \left\{ \begin{array}{l} \ds x+(-y) =z-1, \\ \ds x(-y) = z^2 + 14 - 7z , \end{array} \right. $$ По обратной теореме Виета можно рассматривать величины $x$ и $-y$ как корни квадратного уравнения относительно $t$: $$ t^2-(z-1)t+ \left( z^2 + 14 - 7z \right)=0. $$ Задача сводится к нахождению суммы квадратов корней квадратного трехчлена, так как $\ds x^2+y^2=x^2+(-y)^2$. Для существования решений надо потребовать, чтобы дискриминант был неотрицательным: $$ \ds D=(z-1)^2-4\left( z^2 - 7z + 14 \right)\geqslant 0 \Longleftrightarrow z \in\left[\frac{11}{3};5\right]. $$ Далее, $$ \begin{array}{l} \ds x^2+y^2=(x+(-y))^2-2x(-y)=(z-1)^2-2 \left( z^2 + 14 - 7z \right)=\\ \ds \qquad = -z^2+12z-27. \vphantom{\int} \end{array} $$ На промежутке $\ds z \in\left[\frac{11}{3};5\right]$ производная $$ \ds \left( - z^2 + 12z - 27 \right)'=-2z+12>0, $$ поэтому максимальное значение $x^2+y^2=8$ достигается при значении $z=5$. Ответ: Максимальное значение $x^2+y^2$ достигается при значении $z=5$ и равно $8$.}