"Графическая интерпретация решения систем уравнений и неравенств"

Решение. Эту систему, раскрывая модули, можно записать следующим образом: $$ \left\{\begin{array}{l} x +2y =\pm (3+y) ,\\ 3+y \geqslant 0,\\ x+ y = \pm (3+2y),\\ 3+2y \geqslant 0. \end{array} \right. $$ Рассмотрим все возможные случаи. 1 случай . $$ \left\{\begin{array}{l} x +2y =3+y ,\\ x+ y = 3+2y,\\ y \geqslant -\frac{3}{2}, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x +y =3 ,\\ x- y = 3,\\ y \geqslant -\frac{3}{2}, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x =3 ,\\ y = 0.\\ \end{array} \right. $$ 2 случай . $$ \left\{\begin{array}{l} x +2y =3+y ,\\ x+ y = -3-2y,\\ y \geqslant -\frac{3}{2}, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x +y =3 ,\\ x+3y = -3,\\ y \geqslant -\frac{3}{2}, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x =6 ,\\ y = -3,\\ y \geqslant -\frac{3}{2}. \end{array} \right. $$ Во втором случае у системы нет решений. 3 случай . $$ \left\{\begin{array}{l} x +2y =-3-y ,\\ x+ y = 3+2y,\\ y \geqslant -\frac{3}{2}, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x +3y =-3 ,\\ x- y = 3,\\ y \geqslant -\frac{3}{2}, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x =\frac{3}{2} ,\\ y = -\frac{3}{2}.\\ \end{array} \right. $$ 4 случай . $$ \left\{\begin{array}{l} x +2y =-3-y ,\\ x+ y = -3-2y,\\ y \geqslant -\frac{3}{2}, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x +3y =-3 ,\\ y \geqslant -\frac{3}{2}. \end{array} \right. $$ В последней системе множество решений представляет собой полупрямую. Ответ: $x=3;~y=0$ и $x=-3-3t;~ y= t$, где $\ds t \geqslant -\frac{3}{2}.$; см. рис. [Sys_9.eps] .