Неравенства. Метод интервалов Часть 2

Пример 2.35. Условие Решите неравенство $$ \frac{x^2-2x+1}{(x+2)^2}+\frac{x^2+2x+1}{(x-3)^2}\leq \frac{(2x^2-x+5)^2}{2(x+2)^2(x-3)^2}. $$ Решение Сначала преобразуем левую часть неравенства: $$ \begin{aligned} & \frac{x^2-2x+1}{(x+2)^2}+\frac{x^2+2x+1}{(x-3)^2}=\frac{(x-1)^2}{(x+2)^2}+\frac{(x+1)^2}{(x-3)^2}= \\ & =\frac{\left((x-1)(x-3)\right)^2+\left((x+1)(x+2)\right)^2}{(x+2)^2(x-3)^2}= \frac{\left(x^2-4x+3\right)^2+\left(x^2+3x+2\right)^2}{(x+2)^2(x-3)^2}. \end{aligned} $$ Исходное неравенство, с учетом условия $x\ne -2, x\ne 3$, эквивалентно неравенству $$2\left(x^2-4x+3\right)^2+2\left(x^2+3x+2\right)^2\leq (2x^2-x+5)^2.$$ Воспользуемся легко проверяемой формулой: $$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac.$$ Тогда неравенство приобретет следующий вид: $$ 2(x^4+16x^2 +9 -8x^3 +6x^2 -24x)+2(x^4+9x^2+4+6x^3+4x^2+12x)\leq $$ $$ \leq 4x^4+x^2+25-4x^3+20x^2-10x. $$ Слагаемые со степенями $4$ и $3$ взаимно уничтожатся, поэтому получим $$ 70x^2-24 x+26\leq 21 x^2-10x+25\Longleftrightarrow 49x^2-14x+1\leq 0\Longleftrightarrow $$ $$ \Longleftrightarrow(7x-1)^2\leq 0. $$ Решение существует только в случае равенства левой части нулю, то есть при $ x=\frac{1}{7}$. Ответ $ \frac{1}{7}$.