Трансформаторы, сетки сопротивлений, сверхпроводники: Часть 3

Видео

Конспект

5. Сверхпроводники

Сверхпроводник — проводник, сопротивление которого при температуре ниже критической обращается в точный ноль. Следствие: напряжение между любыми двумя точками сверхпроводника равно нулю при любом протекающем токе.

Ключевое свойство: магнитный поток через замкнутый сверхпроводящий контур сохраняется неизменным. Это следует из закона Ома для участка цепи с ЭДС при $R = 0$: $$

I R = \mathcal{E} \implies 0 = -L\,\frac{dI}{dt} - \frac{d\Phi_{внеш}}{dt},

$$ откуда $d(LI + \Phi_{внеш}) = 0$, то есть полный поток $\Phi = LI + \Phi_{внеш} = \mathrm{const}$.

5.1. Перемещение сверхпроводящего кольца в магнитное поле

Пример 2: Сверхпроводящее кольцо с индуктивностью $L$ и радиусом $R$ несёт начальный ток $I_0$. Кольцо поступательно перемещается в однородное поле $B_0$ (перпендикулярное плоскости кольца).

Решение:

Начальный поток: $\Phi_{нач} = L I_0$.

После перемещения появляется внешний поток $\Phi_{внеш} = \pi R^2 B_0$. Условие сохранения потока: $$

L\,I_{кон} + \pi R^2 B_0 = L\, I_0.

$$

Ответ: $$

I_{кон} = I_0 - \frac{\pi R^2 B_0}{L}.

$$ Суммарный поток остался прежним: $LI_{кон} + \pi R^2 B_0 = LI_0$.

5.2. Сближение двух одинаковых сверхпроводящих колец

Пример 3: Два одинаковых сверхпроводящих кольца с индуктивностью $L$ каждое, расположенных далеко друг от друга, несут одинаковый ток $I_0$. Кольца сближают вплотную (взаимное влияние потоков становится существенным).

Решение:

В силу симметрии токи в кольцах одинаковы. Поток через каждое кольцо должен сохраниться. Когда кольца рядом, магнитный поток через каждое создаётся как собственным, так и соседним током: $$

2 L\, I_{кон} = L\, I_0 \implies I_{кон} = \frac{I_0}{2}.

$$

Ответ: Ток в каждом кольце уменьшается вдвое: $I_{кон} = I_0/2$.

5.3. Деформация сверхпроводящего соленоида

Пример 4: Сверхпроводящий соленоид замкнут сам на себя, несёт ток $I_0$. Индуктивность соленоида: $$

\mathcal{L} = \frac{\mu_0 n^2 S}{l},

$$ где $n$ — число витков на единицу длины, $S$ — площадь сечения, $l$ — длина. Магнитный поток $\mathcal{L} I$ сохраняется.

Сжатие сечения вдвое ($S \to S/2$, $n$ и $l$ — прежние): $\mathcal{L} \to \mathcal{L}/2$, поэтому $I \to 2I_0$.

Растяжение длины вдвое ($l \to 2l$, $S$ и число витков — прежние, $n \to n/2$): $\mathcal{L} \to \mathcal{L}/2$, поэтому $I \to 2I_0$.

Одновременное сжатие сечения вдвое и растяжение длины вдвое: $\mathcal{L} \to \mathcal{L}/4$, поэтому $I \to 4I_0$.

5.4. Сверхпроводящий цилиндр внутри соленоида

Пример 5: Сверхпроводящий замкнутый соленоид с начальным полем $B_0$ и площадью сечения $S_1$. В него вносится сверхпроводящий цилиндр с площадью сечения $S_2$, после чего поле вне цилиндра (но внутри соленоида) стало $3B_0$.

Решение:

Поскольку поле вне цилиндра выросло в 3 раза, площадь области с магнитным полем уменьшилась в 3 раза (поток сохранён): $$

B_0 S_1 = 3B_0\,(S_1 - S_2) \implies S_1 - S_2 = \frac{S_1}{3}.

$$

Ответ: $$

S_2 = \frac{2}{3}\,S_1.

$$

5.5. Влёт сверхпроводящего стержня в соленоид (закон сохранения энергии)

Пример 6: Сверхпроводящий стержень массой $m$ влетает в соленоид с начальной скоростью $V_0$. Когда стержень целиком внутри, поле снаружи цилиндра возросло до $3B_0$, а сечение области поля стало $S/3$ (из примера 5). Найти скорость $u$ стержня внутри соленоида.

Решение:

Закон сохранения энергии: $$

\frac{m V_0^2}{2} + \frac{B_0^2}{2\mu_0}\cdot l\cdot S

= \frac{m u^2}{2} + \frac{(3B_0)^2}{2\mu_0}\cdot l\cdot \frac{S}{3},

$$ где $l$ — длина соленоида, $S$ — его полное сечение.

Энергия магнитного поля после влёта: $$

\frac{9B_0^2}{2\mu_0}\cdot l\cdot \frac{S}{3} = \frac{3B_0^2}{2\mu_0}\cdot l\cdot S = 3\cdot\frac{B_0^2 l S}{2\mu_0}.

$$

Обозначим $W_B = \dfrac{B_0^2 l S}{2\mu_0}$. Тогда: $$

\frac{m V_0^2}{2} + W_B = \frac{m u^2}{2} + 3W_B

\implies \frac{m u^2}{2} = \frac{m V_0^2}{2} - 2W_B.

$$

Ответ: $$

u = \sqrt{V_0^2 - \frac{4 B_0^2 l S}{\mu_0 m}}.

$$

5.6. Сверхпроводящее кольцо в магнитном поле: поворот на угол $\varphi$

Пример 7: Сверхпроводящее кольцо с индуктивностью $L$, радиусом $R$ и начальным током $I_0$ подвешено в однородном поле $B_0$. Первоначально ось кольца перпендикулярна полю (поток через кольцо от поля равен нулю). Кольцо поворачивается на малый угол $\varphi$.

Решение:

Сохранение потока: $$

L I_0 = L I_1 + \pi R^2 B_0 \sin\varphi

\implies I_1 = I_0 - \frac{\pi R^2 B_0}{L}\sin\varphi.

$$

Механический момент сил, действующий на кольцо со стороны поля: $$

M = \pi R^2\cdot I_1 \cdot B_0\cos\varphi

= \pi R^2 B_0 \cos\varphi \left(I_0 - \frac{\pi R^2 B_0}{L}\sin\varphi\right).

$$

Равновесие ($M = 0$) достигается при $I_1 = 0$, то есть при $\sin\varphi = \dfrac{LI_0}{\pi R^2 B_0}$.

5.7. Частично погружённый в поле сверхпроводящий соленоид

Пример 8: Сверхпроводящий соленоид (число витков $N$, сечение $S$, длина $l$, ось под углом $\varphi$ к полю $B_0$) замкнут сам на себя с нулевым начальным током. Соленоид перемещён так, что ровно половина его витков ($N/2$) оказалась в поле, другая половина — вне поля.

Решение:

Поскольку сумма потоков через все витки сохраняется (начальный поток равен нулю), обозначим поле соленоида как $B_{сол}$ (направлено вдоль оси, противоположно продольной составляющей внешнего поля). Уравнение сохранения потока: $$

\left(B_0\cos\varphi - B_{сол}\right)\cdot S\cdot\frac{N}{2}

+ \left(-B_{сол}\right)\cdot S\cdot\frac{N}{2} = 0.

$$

Ответ: $$

B_{сол} = \frac{B_0\cos\varphi}{2}.

$$

Итого в двух областях:

Область 1 (внутри соленоида, в поле): поперечная составляющая $B_0\sin\varphi$ (не изменяется), продольная составляющая $B_0\cos\varphi - B_{сол} = \dfrac{B_0\cos\varphi}{2}$ (уменьшилась вдвое).

Область 2 (внутри соленоида, вне внешнего поля): продольное поле $-B_{сол} = -\dfrac{B_0\cos\varphi}{2}$ (поперечной составляющей нет).