Электромагнитная индукция: от Эрстеда к Фарадею

Пример 1: Скользящая перемычка в магнитном поле Условие. Два параллельных провода, разнесённых на расстояние $D$, соединены: с одной стороны — амперметром и резистором $R$, с другой — подвижной перемычкой. Система находится в однородном вертикальном магнитном поле $B$. Перемычка движется, изменяя ширину контура $x(t)$. Решение. Магнитный поток через контур: $$ \Phi = B \cdot D \cdot x. $$ ЭДС индукции: $$ \mathcal{E} = -\dot{\Phi} = -B D \dot{x}. $$ Ток в цепи: $$ I = \frac{\mathcal{E}}{R} = -\frac{B D \dot{x}}{R}. $$ При $\dot{x} > 0$ (перемычка удаляется, поток растёт) ток отрицателен — по правилу Ленца он создаёт поле, направленное против внешнего. Ответ. $I = -\dfrac{B D \dot{x}}{R}$, знак определяется правилом Ленца. Физический смысл: сила Лоренца как причина тока В системе отсчёта, где перемычка движется со скоростью $v$, на свободные заряды $q$ в ней действует магнитная составляющая силы Лоренца : $$ \mathbf{F}_{маг} = q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}. $$ Эта сила разделяет заряды, создавая разность потенциалов, которая и гонит ток через внешнюю цепь (амперметр и резистор). В другой системе отсчёта (перемычка покоится, а амперметр с резистором движутся) сила Лоренца действует на заряды в движущейся части цепи. В промежуточной системе (обе части движутся с разными скоростями) сила Лоренца присутствует в обоих участках, но суммарный ток не зависит от выбора системы отсчёта. Вихревое электрическое поле Если перемычка неподвижна, но магнитное поле нарастает со временем, например: $$ B(t) = B_0 \frac{t}{\tau}, $$ то магнитный поток также меняется ($D$ и $x$ постоянны): $$ \dot{\Phi} = D\,x\,\dot{B} = D\,x\,\frac{B_0}{\tau}. $$ Силы Лоренца на заряды в неподвижных проводниках нет, однако в цепи всё равно течёт ток. Причина — возникновение вихревого электрического поля , для которого циркуляция по замкнутому контуру не равна нулю: $$ \oint_L \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\dot{\Phi} \neq 0. $$ Это принципиально отличает вихревое поле от электростатического, для которого $\oint \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = 0$ (иначе был бы возможен вечный двигатель). Пример 2: Вихревое поле внутри соленоида Условие. Длинный соленоид с осью симметрии создаёт внутри однородное поле $B(t) = B_0\,t/\tau$. Снаружи поле равно нулю. Найти вихревое электрическое поле на расстоянии $r$ от оси (внутри соленоида). Решение. Выберем круговой контур радиуса $r$, нормаль к которому направлена по $\mathbf{B}$. Магнитный поток через контур: $$ \Phi = B\,\pi r^2 = \frac{B_0}{\tau}\,t\cdot\pi r^2. $$ По симметрии электрическое поле направлено по касательной к окружности и постоянно по модулю на ней. Закон Фарадея: $$ \oint \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = E \cdot 2\pi r = -\dot{\Phi} = -\frac{B_0}{\tau}\,\pi r^2. $$ Знак учитывает правило Ленца: поле направлено против нарастающего потока. Ответ. $$ E = \frac{B_0\,r}{2\tau}. $$ Вихревое электрическое поле растёт линейно с расстоянием от оси: площадь контура зависит от $r^2$, а длина окружности — от $r$. Замечание об ЭДС и природе сил Ток в проводнике обусловлен балансом сил на носитель заряда $q$: электрическая составляющая: $q\mathbf{E}$, магнитная составляющая силы Лоренца: $q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$, сила сопротивления (трение о решётку): $-q\beta\,\mathbf{v}$. При установившемся токе сумма этих сил равна нулю. В случае индукции, обусловленной движением проводника, роль «движущей силы» играет магнитная составляющая силы Лоренца. В случае неподвижных проводников в нарастающем магнитном поле роль той же движущей силы выполняет вихревое электрическое поле. В батарейке аналогичную роль выполняют химические (не электростатические) силы. Во всех случаях ЭДС имеет размерность вольта: $$ [\mathcal{E}] = В. $$