Электромагнитная индукция: от Эрстеда к Фарадею: Часть 3

Видео

Конспект

Пример 1: Скользящая перемычка в магнитном поле

Условие. Два параллельных провода, разнесённых на расстояние $D$, соединены: с одной стороны — амперметром и резистором $R$, с другой — подвижной перемычкой. Система находится в однородном вертикальном магнитном поле $B$. Перемычка движется, изменяя ширину контура $x(t)$.

Решение. Магнитный поток через контур: $$

\Phi = B \cdot D \cdot x.

$$ ЭДС индукции: $$

\mathcal{E} = -\dot{\Phi} = -B D \dot{x}.

$$ Ток в цепи: $$

I = \frac{\mathcal{E}}{R} = -\frac{B D \dot{x}}{R}.

$$ При $\dot{x} > 0$ (перемычка удаляется, поток растёт) ток отрицателен — по правилу Ленца он создаёт поле, направленное против внешнего.

Ответ. $I = -\dfrac{B D \dot{x}}{R}$, знак определяется правилом Ленца.

Физический смысл: сила Лоренца как причина тока

В системе отсчёта, где перемычка движется со скоростью $v$, на свободные заряды $q$ в ней действует магнитная составляющая силы Лоренца: $$

\mathbf{F}_{маг} = q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}.

$$ Эта сила разделяет заряды, создавая разность потенциалов, которая и гонит ток через внешнюю цепь (амперметр и резистор).

В другой системе отсчёта (перемычка покоится, а амперметр с резистором движутся) сила Лоренца действует на заряды в движущейся части цепи. В промежуточной системе (обе части движутся с разными скоростями) сила Лоренца присутствует в обоих участках, но суммарный ток не зависит от выбора системы отсчёта.

Вихревое электрическое поле

Если перемычка неподвижна, но магнитное поле нарастает со временем, например: $$

B(t) = B_0 \frac{t}{\tau},

$$ то магнитный поток также меняется ($D$ и $x$ постоянны): $$

\dot{\Phi} = D\,x\,\dot{B} = D\,x\,\frac{B_0}{\tau}.

$$ Силы Лоренца на заряды в неподвижных проводниках нет, однако в цепи всё равно течёт ток. Причина — возникновение вихревого электрического поля, для которого циркуляция по замкнутому контуру не равна нулю: $$

\oint_L \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\dot{\Phi} \neq 0.

$$ Это принципиально отличает вихревое поле от электростатического, для которого $\oint \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = 0$ (иначе был бы возможен вечный двигатель).

Пример 2: Вихревое поле внутри соленоида

Условие. Длинный соленоид с осью симметрии создаёт внутри однородное поле $B(t) = B_0\,t/\tau$. Снаружи поле равно нулю. Найти вихревое электрическое поле на расстоянии $r$ от оси (внутри соленоида).

Решение. Выберем круговой контур радиуса $r$, нормаль к которому направлена по $\mathbf{B}$. Магнитный поток через контур: $$

\Phi = B\,\pi r^2 = \frac{B_0}{\tau}\,t\cdot\pi r^2.

$$ По симметрии электрическое поле направлено по касательной к окружности и постоянно по модулю на ней. Закон Фарадея: $$

\oint \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = E \cdot 2\pi r = -\dot{\Phi} = -\frac{B_0}{\tau}\,\pi r^2.

$$ Знак учитывает правило Ленца: поле направлено против нарастающего потока.

Ответ. $$

E = \frac{B_0\,r}{2\tau}.

$$ Вихревое электрическое поле растёт линейно с расстоянием от оси: площадь контура зависит от $r^2$, а длина окружности — от $r$.

Замечание об ЭДС и природе сил

Ток в проводнике обусловлен балансом сил на носитель заряда $q$:

электрическая составляющая: $q\mathbf{E}$,

магнитная составляющая силы Лоренца: $q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$,

сила сопротивления (трение о решётку): $-q\beta\,\mathbf{v}$.

При установившемся токе сумма этих сил равна нулю.

В случае индукции, обусловленной движением проводника, роль «движущей силы» играет магнитная составляющая силы Лоренца. В случае неподвижных проводников в нарастающем магнитном поле роль той же движущей силы выполняет вихревое электрическое поле. В батарейке аналогичную роль выполняют химические (не электростатические) силы. Во всех случаях ЭДС имеет размерность вольта: $$

[\mathcal{E}] = В.

$$