Электростатика: Часть 3

Видео

Конспект

Теорема о телесном угле. Поле равномерно заряженной плоскости

Распределённые заряды. Если заряды распределены по поверхности равномерно с поверхностной плотностью: $$

\sigma = \frac{\Delta Q}{\Delta S} \quad \left[Кл/м^2\right],

$$ то для нахождения поля вводится теорема о телесном угле.

Теорема о телесном угле. Составляющая электрического поля $E_\perp$, перпендикулярная к заряженной плоскости, в произвольной точке $A$: $$

E_\perp = k\sigma\,\Omega,

$$ где $\Omega$ — телесный угол, под которым заряженный участок поверхности виден из точки $A$, $\Omega = \Delta S / r^2$.

Доказательство. Выберем малый элемент площади $\Delta s$ на расстоянии $r$ от точки $A$. Заряд на нём $\Delta Q = \Delta s \cdot \sigma$. Поле в точке $A$: $$

\Delta E = \frac{k\,\sigma\,\Delta s}{r^2}.

$$ Проекция на нормаль к плоскости ($\varphi$ — угол между $\vec{E}$ и нормалью): $$

\Delta E_\perp = \frac{k\,\sigma\,\Delta s}{r^2}\cos\varphi = k\sigma\,\Delta\Omega,

$$ так как $\Delta s \cos\varphi / r^2 = \Delta\Omega$ — элемент телесного угла. Суммируя по всей заряженной поверхности: $$

E_\perp = k\sigma \int d\Omega = k\sigma\,\Omega.

$$

Пример 1: Две параллельные пластины площадью $S$ с зарядами $+Q$ и $-Q$; расстояние $D \ll \sqrt{S}$.

Решение: При выполнении условия $D \ll \sqrt{S}$ телесный угол, под которым каждая пластина видна из точки на противоположной пластине, равен $2\pi$. Поле, созданное одной (положительно заряженной) пластиной: $$

E_+ = k\sigma \cdot 2\pi = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \cdot 2\pi = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{Q}{2\varepsilon_0 S}.

$$ Продольные составляющие в силу симметрии компенсируются; поперечные (нормальные) составляющие складываются. Суммарное поле внутри конденсатора: $$

E = 2E_+ = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}.

$$

Ответ: Пластины притягиваются с силой: $$

F = E_+ \cdot Q = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S}.

$$

Энергия электрического поля. Давление поля

Работа при раздвигании пластин. Если пластины раздвигают из соприкосновения на расстояние $d$, работа внешних сил: $$

A = F \cdot d = \frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 S}.

$$

Переписывая через поле $E = Q/(\varepsilon_0 S)$ и умножая числитель и знаменатель на $\varepsilon_0 S$: $$

A = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \cdot (S \cdot d) = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \cdot V,

$$ где $V = S \cdot d$ — объём пространства между пластинами. Поскольку потерь на теплоту и излучение нет, работа превращается в энергию электрического поля. Разделив на объём, получаем плотность энергии электрического поля: $$

\boxed{w = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}.}

$$

Давление электрического поля. С одной стороны пластины поле $E$ (и плотность энергии $w$), с другой — поле равно нулю. Разность давлений определяет силу на пластину: $$

P = -w = -\frac{\varepsilon_0 E^2}{2} = -\frac{E D}{2},

$$ где $D = \varepsilon_0 E$ — индукция. Сила, действующая на пластину площадью $S$: $$

F = \Delta P \cdot S = w \cdot S.

$$

Интерпретация силы на точечный заряд. Во внешнем электрическом поле, наложенном на собственное поле заряда, суперпозиция приводит к тому, что с одной стороны от заряда суммарное поле усиливается, с другой — ослабляется. Соответственно, плотность энергии (и давление) оказывается больше с одной стороны и меньше с другой. Именно эта разность давлений электрического поля порождает силу, действующую на заряд: для положительного заряда — по направлению внешнего поля, для отрицательного — против.

Таким образом, формула $\vec{F} = q\vec{E}$ допускает более глубокую интерпретацию: сила возникает из-за разности плотностей энергии электрического поля по разные стороны от заряда.