Теплопотери

Задача 3 Условие При разведении теплолюбивых рыб в аквариуме для поддержания необходимой температуры воды $t_{т}=25^{\circ}C$ используется электрический нагреватель, мощность которого $P_{0}=100$ Вт. Для хладолюбивых рыб температура воды в аквариуме должна быть $t_{x}=12^{\circ}C$. Чтобы обеспечить низкотемпературный режим, через погружённый в аквариум теплообменник - длинную медную трубку - пропускают водопроводную воду, температура которой $t_{1}=8^{\circ}C$ (эффективность теплообменника столь высока, что вытекающая из трубки вода находится в тепловом равновесии с водой аквариума). Предполагая, что мощность теплообмена между аквариумом и окружающей средой пропорциональна разности температур между ними, определите минимальный расход воды ( $\mu=\Delta m / \Delta \tau$ ) для поддержания заданного температурного режима. Комнатная температура $t_0=20^{\circ}C$. Удельная теплоёмкость воды с $=4200$ Дж/(кг $\cdot$ К). Как изменится ответ, если в аквариуме будут разводить рыб, предпочитающих температуру воды $t_x=16^{\circ}C$ ? Решение В аквариуме с теплолюбивыми рыбами энергия, поступающая от нагревателя, в конечном счете полностью передается окружающей среде. Условие теплового равновесия при этом имеет вид: $P_{0}=\alpha\left(t_{t}-t_{0}\right)$, где $P_{0}$ - мощность теплообмена, $\alpha$ - коэффициент пропорциональности, $t_{t}$ $=25^{\circ}C, t_{0}=20^{\circ}C$. Для аквариума с хладолюбивыми рыбами уравнение теплового баланса будет иметь вид: $P_{1}=\alpha\left(t_{0}-t_{x}\right)$, где $P_{1}-$ мощность, подводимая к воде аквариума из окружающего воздуха, $t_{x}=12^{\circ}C$. (2) Эта же мощность должна отводиться водопроводной водой: $P_{1} \Delta \tau=c \Delta m\left(t_{x}-t_{1}\right)$, где $t_{1}=8^{0}C, \Delta \tau$ - промежуток времени, $c$ - удельная теплоемкость воды, $\Delta m$ - масса воды, прошедшей через теплообменник за это время. (3) Тогда: $$ \frac{\Delta m}{\Delta \tau}=\frac{P_{1}}{c\left(t_{x}-t_{1}\right)} \quad (4) $$ Поскольку $$ \frac{P_{1}}{P_{0}}=\frac{\left(t_{0}-t_{x}\right)}{\left(t_{t}-t_{0}\right)^{\prime}}, $$ то получим: $$ \frac{\Delta m}{\Delta \tau}=\frac{P_{0}\left(t_{0}-t_{x}\right)}{c\left(t_{x}-t_{1}\right)\left(t_{t}-t_{0}\right)} \approx 9,5 г/с . \quad (5) $$ Расход воды для аквариума с менее хладолюбивыми рыбками равен: $$ \frac{\Delta m}{\Delta \tau}=\frac{P_{0}\left(t_{0}-t_{x 1}\right)}{c\left(t_{x 1}-t_{1}\right)\left(t_{t}-t_{0}\right)} \approx 2,4 г/с . \quad (6) $$ Как мы видим, разводить рыб, предпочитающих температуру $16^{\circ}C$, в 4 раза экономичнее. Ответ $\frac{\Delta m}{\Delta \tau} \approx 9,5 г/с$; $\frac{\Delta m}{\Delta \tau} \approx 2,4 г/с$;