Солнечная система

Итак, вычислив в любой токе траектории небесного тела две сохраняющиеся величины полную механическую энергию и момент импульса, мы можем найти длины полуосей орбиты, то есть полностью выяснить ее форму и размеры. Эксцентриситет орбиты $e \equiv \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{2 E L^{2}}{G^{2} M^{2} m^{3}}}$. Наконец, если воспользоваться геометрической формулой площади эллипса $S=\pi a b$, то можно найти период вращения небесного тела, разделив эту площадь на секторную скорость: $$ T=\frac{\pi a b}{\sigma}=\frac{2 \pi m a b}{L}=\frac{2 \pi a}{v_{B}}=\frac{2 \pi}{\sqrt{G M}} a^{3 / 2} \Rightarrow T^{2}=\frac{4 \pi^{2}}{G M} a^{3} . $$ Значит, мы вывели из законов геометрии и механики и III закон Кеплера! Если полная механическая энергия небесного тела $E \geq 0$, то его орбита не может быть замкнутой - ясно, что в этом случае тело может удалиться от Солнца сколь угодно далеко. На самом деле при $E=0$ и ненулевом $L$ небесное тело движется по параболе, а при $E>0$ и ненулевом $L$ - по гиперболе. Завершая обзор, заметим, что при $L=0$ небесное тело движется по прямой, проходящей через центр Солнца. Отметим, что для параболической орбиты эксцентриситет оказывается равным нулю, а для гиперболической он больше 1 (при этом видно, что прежнее определение эксцентриситета, которое мы ввели для замкнутых орбит, больше не работает - это естественно, так как для незамкнутой орбиты утратили смысл представление о двух полуосях орбиты). Общий вывод: знание $E$ и $L$ позволяет однозначно определить орбиту тела.