Линейная плотность

Задача 3 Условие: По заснеженной дороге на снегоплавильный пункт с постоянной скоростью $\vartheta_1 = 10$ м/с едет самосвал груженый снегом. В кузове самосвала имеется дырка, через которую на дорогу дополнительно высыпается снег, причём за одинаковые промежутки времени высыпается одинаковая масса (массовый расход $\mu = 3$ кг/с). Вдогонку за самосвалом отправляется снегоуборочный комбайн с бункером. Он едет со скоростью $\vartheta_2$ и собирает с дороги весь снег до заполнения бункера. Выяснилось, что если бы скорость самосвала была в 3 раза большей, то время заполнения бункера увеличилось бы в 2 раза, при неизменной скорости комбайна. Определите линейную плотность снега на заснеженной дороге $\lambda_0$ (г/м), т.е. сколько грамм приходилось на каждый метр длины дороги до того как по ней проехал самосвал? Считать что изначально бункер пустой, его объём меньше объема снега в самосвале, и за время заполнения комбайн не догоняет самосвал. При повторной уборке потерь снега нет! Решение: а) был снег на дороге; б) самосвал добавил снега; в) комбайн убирает весь снег 1) До самосвала: Возьмём участок дороги длиной – $L$; на этом участке масса снега – $m$; линейная плотность снега на дороге – $\lambda_0 = \frac{m}{L}$ 2) После самосвала: Он проехал длину $L$ со скоростью $\vartheta_1 = 10\,м/с$ за время $t$ $$ L = \vartheta_1 \cdot t $$ $$ t = \frac{L}{\vartheta_1} $$ Из его кузова высыпался снег массой $\Delta m$, тогда $$ \Delta m = \mu \cdot t ; $$ $$ [\mu] = кг/с $$ 3) Теперь на заснеженной дороге равномерно на каждый метр распределился снег массой $m + \Delta m$ и линейная плотность всего снега $$ \lambda_1 = \frac{m + \Delta m}{L} $$ 4) Самосвал выехал за пределы рассматриваемого участка длиной $L$. За ним с пустым бункером, который вмещает массу снега $M$, едет комбайн. Рассмотрим движение комбайна на участке $L$: а) на каждый метр дороги равномерно распределено количество снега с плотностью $\lambda_1$; будем считать, что до момента заполнения бункера он прошёл путь $X_1$, тогда можно вычислить массу снега в бункере $$ M = \lambda_1 \cdot X_1 $$ б) т.к. комбайн двигался равномерно со скоростью $\vartheta_2$, то, считая, что бункер заполнился за время $t_1$, получаем $$ X_1 = \vartheta_2 \cdot t_1, $$ Тогда $$ M = \lambda_1 \cdot \vartheta_2 \cdot t_1 \quad (1) $$ 5) Если бы скорость самосвала была в 3 раза больше, то время его заполнения $$ t_2 = 2 t_1 $$ 1’) до самосвала $$ \lambda_0 = \frac{m}{L} \quad – плотность снега на дороге; $$ 2’) самосвал проехал $L$ со скоростью $\vartheta'_1$ за время $t'$, тогда $$ L = \vartheta'_1 \cdot t' $$ $$ t' = \frac{L}{\vartheta'_1} = \frac{L}{3\vartheta_1} $$ и из его кузова высыпался снег массой $$ \Delta m' = \mu \cdot t' $$ 3’) теперь на дороге $m + \Delta m'$ снега с линейной плотностью $$ \lambda'_1 = \frac{m + \Delta m'}{L} $$ 4’) Самосвал выехал за пределы рассматриваемого участка длиной $L$ и за ним с пустым бункером, который вмещает массу $M$ снега, едет комбайн. Рассмотрим движение комбайна на участке $L$: а’) на каждый метр дороги равномерно распределено количество снега с плотностью $\lambda'_1$, то считая, что до момента заполнения бункера он прошёл путь $X'_1$, можно вычислить массу снега в бункере; б’) $$ M = \lambda'_1 \cdot X'_1, $$ Где $$ X'_1 = \vartheta_2 \cdot t_2, $$ тогда $$ M = \lambda'_1 \cdot \vartheta_2 \cdot t_2 \quad (2) $$ Приравняем (1) и (2) $$ \lambda_1 \cdot \vartheta_2 \cdot t_1 = \lambda'_1 \cdot \vartheta_2 \cdot t_2 $$ Используем $$ t_2 = 2 t_1 $$ $$ \lambda_1 = \frac{m + \Delta m}{L} $$ $$ \lambda'_1 = \frac{m + \Delta m'}{L} $$ $$ \frac{m + \Delta m}{L} \cdot \vartheta_2 \cdot t_1 = \frac{m + \Delta m'}{L} \cdot \vartheta_2 \cdot 2 t_1 $$ $$ m + \Delta m = 2m + 2\Delta m' $$ $$ \Delta m = m + 2\Delta m' $$ Воспользуемся $$ \Delta m = \mu \cdot t = \mu \cdot \frac{L}{\vartheta_1} $$ $$ \Delta m' = \mu \cdot t' = \mu \cdot \frac{L}{3\vartheta_1} $$ $$ \mu \cdot \frac{L}{\vartheta_1} = m + 2 \mu \cdot \frac{L}{3\vartheta_1} \quad | :L $$ $$ \frac{\mu}{\vartheta_1} = \frac{m}{L} + \frac{2\mu}{3\vartheta_1} $$ $$ \frac{m}{L} = \frac{\mu}{\vartheta_1} - \frac{2\mu}{3\vartheta_1} $$ $$ \frac{m}{L} = \frac{3\mu - 2\mu}{3\vartheta_1} = \frac{\mu}{3\vartheta_1}, $$ т.к. $m$ – первоначальная масса снега на дороге; $L$ – длина участка; $$ \frac{m}{L} = \lambda_0 \quad – искомая величина. $$ $$ \lambda_0 = \frac{\mu}{3\vartheta_1} = \frac{3\,кг/с}{3 \cdot 10\,м/с} = 0{,}1\,кг/м $$ Ответ: 100 г/м