Линейная плотность: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 3

Условие: По заснеженной дороге на снегоплавильный пункт с постоянной скоростью \vartheta_1 = 10 м/с едет самосвал груженый снегом. В кузове самосвала имеется дырка, через которую на дорогу дополнительно высыпается снег, причём за одинаковые промежутки времени высыпается одинаковая масса (массовый расход \mu = 3 кг/с). Вдогонку за самосвалом отправляется снегоуборочный комбайн с бункером. Он едет со скоростью \vartheta_2 и собирает с дороги весь снег до заполнения бункера. Выяснилось, что если бы скорость самосвала была в 3 раза большей, то время заполнения бункера увеличилось бы в 2 раза, при неизменной скорости комбайна. Определите линейную плотность снега на заснеженной дороге \lambda_0 (г/м), т.е. сколько грамм приходилось на каждый метр длины дороги до того как по ней проехал самосвал? Считать что изначально бункер пустой, его объём меньше объема снега в самосвале, и за время заполнения комбайн не догоняет самосвал. При повторной уборке потерь снега нет!

Решение:

а) был снег на дороге;

б) самосвал добавил снега;

в) комбайн убирает весь снег

1) До самосвала:

Возьмём участок дороги длиной – L ;

на этом участке масса снега – m ;

линейная плотность снега на дороге – \lambda_0 = \frac{m}{L}

2) После самосвала:

Он проехал длину L со скоростью \vartheta_1 = 10\,м/с за время t L = \vartheta_1 \cdot t t = \frac{L}{\vartheta_1} Из его кузова высыпался снег массой \Delta m , тогда \Delta m = \mu \cdot t ; [\mu] = кг/с

3) Теперь на заснеженной дороге равномерно на каждый метр распределился снег массой m + \Delta m и линейная плотность всего снега \lambda_1 = \frac{m + \Delta m}{L}

4) Самосвал выехал за пределы рассматриваемого участка длиной L . За ним с пустым бункером, который вмещает массу снега M , едет комбайн. Рассмотрим движение комбайна на участке L :

а) на каждый метр дороги равномерно распределено количество снега с плотностью \lambda_1 ; будем считать, что до момента заполнения бункера он прошёл путь X_1 , тогда можно вычислить массу снега в бункере M = \lambda_1 \cdot X_1

б) т.к. комбайн двигался равномерно со скоростью \vartheta_2 , то, считая, что бункер заполнился за время t_1 , получаем X_1 = \vartheta_2 \cdot t_1, Тогда M = \lambda_1 \cdot \vartheta_2 \cdot t_1 \quad (1)

5) Если бы скорость самосвала была в 3 раза больше, то время его заполнения t_2 = 2 t_1

1’) до самосвала \lambda_0 = \frac{m}{L} \quad – плотность \quad снега \quad на \quad дороге;

2’) самосвал проехал L со скоростью \vartheta'_1 за время t' , тогда L = \vartheta'_1 \cdot t' t' = \frac{L}{\vartheta'_1} = \frac{L}{3\vartheta_1} и из его кузова высыпался снег массой \Delta m' = \mu \cdot t'

3’) теперь на дороге m + \Delta m' снега с линейной плотностью \lambda'_1 = \frac{m + \Delta m'}{L}

4’) Самосвал выехал за пределы рассматриваемого участка длиной L и за ним с пустым бункером, который вмещает массу M снега, едет комбайн. Рассмотрим движение комбайна на участке L :

а’) на каждый метр дороги равномерно распределено количество снега с плотностью \lambda'_1 , то считая, что до момента заполнения бункера он прошёл путь X'_1 , можно вычислить массу снега в бункере;

б’) M = \lambda'_1 \cdot X'_1, Где X'_1 = \vartheta_2 \cdot t_2, тогда M = \lambda'_1 \cdot \vartheta_2 \cdot t_2 \quad (2)

Приравняем (1) и (2) \lambda_1 \cdot \vartheta_2 \cdot t_1 = \lambda'_1 \cdot \vartheta_2 \cdot t_2

Используем t_2 = 2 t_1 \lambda_1 = \frac{m + \Delta m}{L} \lambda'_1 = \frac{m + \Delta m'}{L} \frac{m + \Delta m}{L} \cdot \vartheta_2 \cdot t_1 = \frac{m + \Delta m'}{L} \cdot \vartheta_2 \cdot 2 t_1 m + \Delta m = 2m + 2\Delta m' \Delta m = m + 2\Delta m'

Воспользуемся \Delta m = \mu \cdot t = \mu \cdot \frac{L}{\vartheta_1} \Delta m' = \mu \cdot t' = \mu \cdot \frac{L}{3\vartheta_1} \mu \cdot \frac{L}{\vartheta_1} = m + 2 \mu \cdot \frac{L}{3\vartheta_1} \quad | :L \frac{\mu}{\vartheta_1} = \frac{m}{L} + \frac{2\mu}{3\vartheta_1} \frac{m}{L} = \frac{\mu}{\vartheta_1} - \frac{2\mu}{3\vartheta_1} \frac{m}{L} = \frac{3\mu - 2\mu}{3\vartheta_1} = \frac{\mu}{3\vartheta_1},

т.к. m – первоначальная масса снега на дороге; L – длина участка; \frac{m}{L} = \lambda_0 \quad – искомая \quad величина. \lambda_0 = \frac{\mu}{3\vartheta_1} = \frac{3\,кг/с}{3 \cdot 10\,м/с} = 0{,}1\,кг/м

Ответ: 100 г/м