Линейная плотность

Задача 3 Условие: Половина (по длине) длинного стержня имеет линейную плотность $\lambda_1 = 60$ г/дм, а вторая половина — $\lambda_2 = 20$ г/дм. Стержень разрезали поперёк на две равные по массе части. Чему оказались равны средние линейные плотности получившихся частей? Примечание. Линейной плотностью протяжённых тел $\lambda$ называют массу единицы их длины. Решение: $$ l_1 = \frac{l}{2}, \quad \lambda_1 = 60\,г/дм $$ $$ l_2 = \frac{l}{2}, \quad \lambda_2 = 20\,г/дм $$ Т.к. длины частей стержня одинаковы, а линейные плотности отличаются в 3 раза ($\lambda_1 = 3\lambda_2$), то во столько же раз отличаются и их массы. Пусть масса стержня $= 4m$. Тогда: Масса тяжелой половины $m_1 = 3m$. Масса легкой половины $m_2 = m$. Масса каждой из разрезанных частей (по условию равны по массе) $= 2m$. Разрез проходит по тяжелой части (так как $3m > 2m$). Левая часть ($m'_1 = 2m$) составляет $\frac{2}{3}$ части тяжелой половины. Значит, средняя плотность левой части: $$ \lambda'_1 = \lambda_1 = 60\,г/дм $$ Правая часть ($m'_2 = 2m$) состоит из остатка тяжелой половины ($\frac{1}{3}$ длины $l/2$) и всей легкой половины. Средняя линейная плотность правой части: $$ \lambda'_2 = \frac{m'_2}{L_{прав}} = \frac{2m}{\frac{1}{3}\frac{l}{2} + \frac{l}{2}} $$ Подставим массы через $\lambda$: $$ \lambda'_2 = \frac{\frac{1}{3}\frac{l}{2} \cdot \lambda_1 + \frac{l}{2} \cdot \lambda_2}{\frac{1}{3}\frac{l}{2} + \frac{l}{2}} = \frac{\frac{l}{2}(\frac{\lambda_1}{3} + \lambda_2)}{\frac{l}{2}(\frac{1}{3} + 1)} = \frac{\frac{60}{3} + 20}{\frac{4}{3}} = \frac{20 + 20}{\frac{4}{3}} = 40 \cdot \frac{3}{4} = 30\,г/дм $$ Ответ: 60 г/дм; 30 г/дм