Линейная плотность: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 3

Условие: Половина (по длине) длинного стержня имеет линейную плотность \lambda_1 = 60 г/дм, а вторая половина — \lambda_2 = 20 г/дм. Стержень разрезали поперёк на две равные по массе части. Чему оказались равны средние линейные плотности получившихся частей? Примечание. Линейной плотностью протяжённых тел \lambda называют массу единицы их длины.

Решение:

l_1 = \frac{l}{2}, \quad \lambda_1 = 60\,г/дм l_2 = \frac{l}{2}, \quad \lambda_2 = 20\,г/дм Т.к. длины частей стержня одинаковы, а линейные плотности отличаются в 3 раза ( \lambda_1 = 3\lambda_2 ), то во столько же раз отличаются и их массы.

Пусть масса стержня = 4m . Тогда: Масса тяжелой половины m_1 = 3m . Масса легкой половины m_2 = m . Масса каждой из разрезанных частей (по условию равны по массе) = 2m .

1

Разрез проходит по тяжелой части (так как 3m > 2m ). Левая часть ( m'_1 = 2m ) составляет \frac{2}{3} части тяжелой половины. Значит, средняя плотность левой части: \lambda'_1 = \lambda_1 = 60\,г/дм

Правая часть ( m'_2 = 2m ) состоит из остатка тяжелой половины ( \frac{1}{3} длины l/2 ) и всей легкой половины. Средняя линейная плотность правой части: \lambda'_2 = \frac{m'_2}{L_{прав}} = \frac{2m}{\frac{1}{3}\frac{l}{2} + \frac{l}{2}} Подставим массы через \lambda : \lambda'_2 = \frac{\frac{1}{3}\frac{l}{2} \cdot \lambda_1 + \frac{l}{2} \cdot \lambda_2}{\frac{1}{3}\frac{l}{2} + \frac{l}{2}} = \frac{\frac{l}{2}(\frac{\lambda_1}{3} + \lambda_2)}{\frac{l}{2}(\frac{1}{3} + 1)} = \frac{\frac{60}{3} + 20}{\frac{4}{3}} = \frac{20 + 20}{\frac{4}{3}} = 40 \cdot \frac{3}{4} = 30\,г/дм

Ответ: 60 г/дм; 30 г/дм