Неоднородные тела

Задача 3 Условие r 0.25 Если сосуд с песком подвергнуть вибрации (потрясти), то можно наблюдать интересное явление - песок становится похож на жидкость. Тела, плотность которых достаточно велика, тонут в этом «жидком песке», а тела с небольшой плотностью (например, деревянные) наоборот всплывают на поверхность, даже если изначально они были на дне сосуда. Так происходит потому, что при встряхивании уменьшаются силы трения между песчинками. Рассмотрим опыт. На дне цилиндрического сосуда находится песок. Поверх песка насыпана галька. Сосуд подвергают вибрации, и песок становится «жидким». Галька постепенно опускается на дно сосуда, а песок заполняет все пустоты между её камнями. Чему станет равен уровень содержимого в сосуде после оседания гальки, если изначально уровень песка был равен $h_{1}=0,6$ м, а уровень гальки $h_{2}=1$ м? Плотность камней гальки равна $\rho_{0}=2600 кг/м^{3}$, а её насыпная плотность $-\rho_{1}=1500 кг/м^{3}$. Решение 1) Пусть $m$ - масса гальки СПОСОБ 1 $$ \begin{aligned} & \begin{cases} \begin{aligned} & V_{\text {гальки в сосуде }(\text {с воздухом })}=V \\ & m=V \rho_{1} \end{aligned} \end{cases} \\ & \begin{cases} \begin{aligned} & V_{\text {гальки }\text {(без воздуха })}=V_1 \\ & m=V_{1} \rho_{0} \end{aligned} \end{cases} \end{aligned} \Rightarrow \quad V \rho_{1}=V_{1} \rho_{0} $$ Выразим объем камней без воздуха $$ V_{1}=\frac{V \rho_{1}}{\rho_{0}} $$ 2) Объем пустот между камнями $$ V_{\text {пустот }}=V-V_{1}=V-\frac{V \rho_{1}}{\rho_{0}}=V\left(\frac{\rho_{0}-\rho_{1}}{\rho_{0}}\right) $$ 3) Часть песка займет объем пустот $V_{2}$ $$ \begin{gathered} V_{2}=V-V_{1} =V-\frac{V \rho_{1}}{\rho_{0}}=V\left(\frac{\rho_{0}-\rho_{1}}{\rho_{0}}\right) \\ S H_{2} =S h_{2}\left(\frac{\rho_{0}-\rho_{1}}{\rho_{0}}\right) \\ H_{2} =h_{2}\left(\frac{\rho_{0}-\rho_{1}}{\rho_{0}}\right) \end{gathered}, $$ $H_{2}$ - высота песка, который покинет весь песок имеющийся в сосуде. 4) Оставшийся песок имеет высоту $$ \Delta h=h_{1}-H_{2}=h_{1}-h_{2}\left(\frac{\rho_{0}-\rho_{1}}{\rho_{0}}\right) $$ 5) Новая общая высота в сосуде $$ \begin{gathered} h=h_{2}+\Delta h=h_{2}+h_{1}-h_{2}\left(\frac{\rho_{0}-\rho_{1}}{\rho_{0}}\right) \\ h=1+0,6-1\left(\frac{2600-1500}{2600}\right)=1,18 м \end{gathered} $$ СПОСОБ 2 $$ \begin{gathered} m=V \rho_{1} \\ m=V_{1} \rho_{0} \\ V_{1} \rho_{0}=V \rho_{1} \\ \frac{V_{1}}{V}=\frac{\rho_{1}}{\rho_{0}} \\ V_{\text {камней }}=V_{\text {гальки }} \cdot \frac{\rho_{1}}{\rho_{0}} \end{gathered} $$ Объем занимаемый камнями меньше объема гальки во столько раз, во сколько насыпная плотность гальки меньше плотности камней $$ \begin{gathered} \Delta V_{\text {пустот }}=V_{\text {гальки }}-V_{\text {камней }} \\ \Delta V_{\text {пустот }}=V_{\text {гальки }}\left(1-\frac{\rho_{1}}{\rho_{0}}\right) \\ \Delta V_{\text {пустот }}=\Delta V_{\text {песка }} \\ S H_{2}=S h_{2}\left(1-\frac{\rho_{1}}{\rho_{0}}\right) \\ H_{2}=h_{2}\left(\frac{\rho_{0}-\rho_{1}}{\rho_{0}}\right) \end{gathered} $$ Далее пункты 4) и 5) способа 1 Ответ 1,18 м