Неоднородные тела: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 5

Условие

В тексте одной из задач задачника Григория Остера «Ненаглядное пособие по математике» написано следующее: «В специальный ящик можно уложить 68 куриных яиц. Если уминать их ногами, то поместится в 100 раз больше».

С точки зрения физики, это может показаться странным. Жидкости (в частности, белок и желток куриных яиц) трудно поддаются сжатию. Поэтому плотности белка и желтка практически невозможно изменить, уминая яйца ногами. То же самое справедливо и в отношении яичной скорлупы. Поэтому, если яйца в ящике лежат вплотную друг к другу, то объем содержимого ящика нельзя изменить в такое большое число (100) раз.

Однако, в задаче сказано, что ящик - специальный. Можно предположить, что в ящике были специальные перегородки, за счет которых яйца укладывались не вплотную, а на некотором расстоянии друг от друга, и большую часть объема ящика занимал воздух. Предположим, что эти перегородки были легкими и тонкими: масса и объем всех перегородок пренебрежимо мала по сравнению с массой и объемом всех яиц. Будем считать также, что при уминании яиц ногами белок и желток не выплескиваются из ящика. Известно, что средняя плотность одного куриного яйца равна 1060 кг/м^3 . Зная это, ответьте на следующие вопросы.

1) Чему равна средняя плотность содержимого специального ящика с 68 куриными яйцами?

2) Чему равна средняя плотность содержимого специального ящика, если в него положили только 40 яиц?

Решение

1.

а) N_{1}=68 , в ящике есть воздух m_{1}=68 m_{o} , V_{1}=V средняя плотность в ящике:

\rho_{1}=\frac{68 m_{o}}{V} б) N_2=68 \cdot 100 , m_2=68 \cdot 100 \cdot m_0 , V_2=V - в ящике нет воздуха

\begin{gathered}

\rho_2=\rho_{\text {яйца }}=\frac{68 \cdot 100 \cdot m_{o}}{V} \\

\rho_{1}=\frac{68 m_{o}}{V} \quad \Rightarrow \quad \frac{\rho_{\text {яйца }}}{100}=\frac{68 m_0}{V} \quad \Rightarrow \quad \rho_1=\frac{\rho_{\text {яйца }}}{100}=10,6 кг/м^3

\end{gathered} 2.

\begin{gathered}

\frac{\rho_{\text {яйца }}}{100}=\frac{68 m_{0}}{V} \quad \Rightarrow \quad \frac{\rho_{\text {яйца }}}{100 \cdot 68}=\frac{m_{o}}{V} \quad \Rightarrow \quad \rho=\frac{40 m_{0}}{V}=\frac{40 \rho_{\text {яйца }}}{100 \cdot 68} \\

\rho=\frac{40 \cdot 1060}{100 \cdot 68}=\frac{4 \cdot 106}{68}=6,2 кг/м^{3}

\end{gathered} Ответ \rho_{1}=10,6 кг/м^{3} ; \rho=6,2 кг/м^{3} .

Задача 6

Условие

image.png Кубик Рубика с ребром а не имеет пустот и сложен из одинаковых кубиков плотностью \rho_{1} с ребром a/3 . Если все мелкие кубики, не видимые на рисунке, заменить на другие, такие же по размеру, но с плотностью \rho_{2} , то средняя плотность кубика Рубика увеличится в n=3 раза. Чему равно отношение плотностей \rho_{2} / \rho_{1} ?

Решение

19 кубиков видим, 27 всего =9 \times 3 \rightarrow не видим 8!

V - объем всего куба; \frac{V}{27} - объем маленького куба; \rho_{\text {cp } 1}=\rho_{1} - вначале.

\begin{gathered}

\rho_{ср 2}=\frac{19 \frac{V}{27} \cdot \rho_{1}+8 \frac{V}{27} \cdot \rho_{2}}{V}=\frac{19 \rho_{1}+8 \rho_{2}}{27} \\

\rho_{ср 2}=3 \rho_{ср 1} \\

\frac{19 \rho_{1}+8 \rho_{2}}{27}=3 \rho_{1} \\

19 \rho_{1}+8 \rho_{2}=27 \cdot 3 \rho_{1} \\

8 \rho_{2}=81 \rho_{1}-19 \rho_{1} \\

8 \rho_{2}=62 \rho_{1} \\

\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}=\frac{62}{8}=7,75

\end{gathered} Ответ 7,75.