Неоднородные тела

Задача 5 Условие В тексте одной из задач задачника Григория Остера «Ненаглядное пособие по математике» написано следующее: «В специальный ящик можно уложить 68 куриных яиц. Если уминать их ногами, то поместится в 100 раз больше». С точки зрения физики, это может показаться странным. Жидкости (в частности, белок и желток куриных яиц) трудно поддаются сжатию. Поэтому плотности белка и желтка практически невозможно изменить, уминая яйца ногами. То же самое справедливо и в отношении яичной скорлупы. Поэтому, если яйца в ящике лежат вплотную друг к другу, то объем содержимого ящика нельзя изменить в такое большое число (100) раз. Однако, в задаче сказано, что ящик - специальный. Можно предположить, что в ящике были специальные перегородки, за счет которых яйца укладывались не вплотную, а на некотором расстоянии друг от друга, и большую часть объема ящика занимал воздух. Предположим, что эти перегородки были легкими и тонкими: масса и объем всех перегородок пренебрежимо мала по сравнению с массой и объемом всех яиц. Будем считать также, что при уминании яиц ногами белок и желток не выплескиваются из ящика. Известно, что средняя плотность одного куриного яйца равна 1060 $кг/м^3$. Зная это, ответьте на следующие вопросы. 1) Чему равна средняя плотность содержимого специального ящика с 68 куриными яйцами? 2) Чему равна средняя плотность содержимого специального ящика, если в него положили только 40 яиц? Решение 1. а) $N_{1}=68$, в ящике есть воздух $m_{1}=68 m_{o}$, $V_{1}=V$ средняя плотность в ящике: $$\rho_{1}=\frac{68 m_{o}}{V}$$ б) $ N_2=68 \cdot 100$, $m_2=68 \cdot 100 \cdot m_0 $, $V_2=V$ - в ящике нет воздуха $$ \begin{gathered} \rho_2=\rho_{\text {яйца }}=\frac{68 \cdot 100 \cdot m_{o}}{V} \\ \rho_{1}=\frac{68 m_{o}}{V} \quad \Rightarrow \quad \frac{\rho_{\text {яйца }}}{100}=\frac{68 m_0}{V} \quad \Rightarrow \quad \rho_1=\frac{\rho_{\text {яйца }}}{100}=10,6 кг/м^3 \end{gathered} $$ 2. $$ \begin{gathered} \frac{\rho_{\text {яйца }}}{100}=\frac{68 m_{0}}{V} \quad \Rightarrow \quad \frac{\rho_{\text {яйца }}}{100 \cdot 68}=\frac{m_{o}}{V} \quad \Rightarrow \quad \rho=\frac{40 m_{0}}{V}=\frac{40 \rho_{\text {яйца }}}{100 \cdot 68} \\ \rho=\frac{40 \cdot 1060}{100 \cdot 68}=\frac{4 \cdot 106}{68}=6,2 кг/м^{3} \end{gathered} $$ Ответ $\rho_{1}=10,6 кг/м^{3} $; $\rho=6,2 кг/м^{3}$. Задача 6 Условие r 0.2 Кубик Рубика с ребром а не имеет пустот и сложен из одинаковых кубиков плотностью $\rho_{1}$ с ребром $a/3$. Если все мелкие кубики, не видимые на рисунке, заменить на другие, такие же по размеру, но с плотностью $\rho_{2}$, то средняя плотность кубика Рубика увеличится в $n=3$ раза. Чему равно отношение плотностей $\rho_{2} / \rho_{1}$ ? Решение 19 кубиков видим, 27 всего $=9 \times 3$ $\rightarrow$ не видим 8! $V$ - объем всего куба; $\frac{V}{27}$ - объем маленького куба; $\rho_{\text {cp } 1}=\rho_{1}$ - вначале. $$ \begin{gathered} \rho_{ср 2}=\frac{19 \frac{V}{27} \cdot \rho_{1}+8 \frac{V}{27} \cdot \rho_{2}}{V}=\frac{19 \rho_{1}+8 \rho_{2}}{27} \\ \rho_{ср 2}=3 \rho_{ср 1} \\ \frac{19 \rho_{1}+8 \rho_{2}}{27}=3 \rho_{1} \\ 19 \rho_{1}+8 \rho_{2}=27 \cdot 3 \rho_{1} \\ 8 \rho_{2}=81 \rho_{1}-19 \rho_{1} \\ 8 \rho_{2}=62 \rho_{1} \\ \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}=\frac{62}{8}=7,75 \end{gathered} $$ Ответ 7,75.