Сообщаюшиеся сосуды

Пример 3 Есть система большого количества трубок. Все трубки были заполнены водой. Затем во все трубки добавили разные жидкости и разной высоты слоев. У всех добавленных жидкостей плотность меньше плотности воды, и они не перемешиваются с водой. На сколько поднимется вода в последней (N+1) трубке, куда ничего не лили? $h_1 \to \rho_1$ $h_2 \to \rho_2$ ... $h_{15} \to \rho_{15}$ $$ x = \frac{(h_1\rho_1 + h_2\rho_2 + \dots + h_{15}\rho_{15}) \cdot S}{(16 \cdot \rho_0 \cdot S)} $$ Решение аналогично примеру 2. [Для двух трубок можно оставить старый способ через несжимаемость жидкости и условия равновесия.] Было: $$ mg = \rho_{в} 16 S g h $$ Стало: $$ mg + \Delta mg = \rho_0 \cdot 16 \cdot S \cdot g \cdot (h + x) $$ Расписать добавленную массу $\Delta m$ $$ m_1 = \rho_1 \cdot h_1 \cdot S $$ $$ m_2 = \rho_2 \cdot h_2 \cdot S $$ и т.д. $$ \rho_{в} 16 Sgh + (m_1 + m_2 \dots m_{15})g = \rho_0 16 Sgh + \rho_0 16 Sg x $$ $$ (\rho_1 h_1 S + \rho_2 h_2 S + \dots \rho_{15} h_{15} S)g = \rho_0 16 Sg x $$ $$ (\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2 + \dots \rho_{15} h_{15}) = \rho_0 16 x $$ $$ x = \frac{(\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2 + \dots \rho_{15} h_{15})}{16 \rho_0 } \quad (здесь h в знаменателе излишне, по размерности) $$ Ответ: $x = \frac{(\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2 + \dots \rho_{15} h_{15})}{16 \rho_0}$ Пример 4 (новым способом решаем) В сосуде с водой плавает льдинка. Как изменится уровень воды в сосуде после таяния льдинки (т.е. сравнить $h_2$ и $h_1$)? Записываем силу на дно двумя способами: 1) $$ F_{на дно} = \rho g h_1 S $$ $$ F_{от дна} = m_{сод} g $$ $$ \rho g h_1 S = m_{сод} g $$ 2) $$ F_{на дно} = \rho g h_2 S $$ $$ F_{от дна} = m_{сод} g $$ $$ \rho g h_2 S = m_{сод} g $$ Но! $m_{сод}$ не изменилось! $$ \rho g h_1 S = \rho g h_2 S $$ $$ h_1 = h_2 $$ Ответ: уровень жидкости не изменился. Пример 5 В сосуде с водой плавает льдинка с вмёрзшей в неё свинцовой дробинкой. Как изменится уровень воды в сосуде после таяния льда? 1) $$ F_{1 на дно} = \rho g h_1 S $$ с др. сторона $$ F_{1 от дна} = m_{сод} g $$ $$ \rho g h_1 S = m_{сод} g $$ 2) $N$ — сила, с которой дробинка давит на дно; $m_{сод} g$ — осталось тем же. $$ F_{2 на дно} = \rho g h_2 S + N $$ $$ F_{2 от дна} = m_{сод} g $$ $$ \rho g h_2 S + N = m_{сод} g $$ $$ \rho g h_1 S = \rho g h_2 S + N $$ $$ h_1 > h_2 $$ Ответ: уровень понизится. Пример 6 В сосуде с водой плавает льдинка с вмёрзшим в неё деревянным кубиком. Как изменится уровень воды в сосуде? Кроме воды здесь ничто не касается дна, поэтому: $$ F_{1 на дно} = \rho g h_1 S, \quad F_{2 на дно} = \rho g h_2 S $$ 1) $$ F_{1 на дно} = \rho g h_1 S $$ с др. стороны $$ F_{1 от дна} = m_{сод} g $$ 2) $$ F_{2 на дно} = \rho g h_2 S $$ с др. стороны $$ F_{2 от дна} = m_{сод} g $$ $$ \rho g h_1 S = \rho g h_2 S \Rightarrow h_1 = h_2 $$ Ответ: не изменится.