Сообщаюшиеся сосуды: Часть 3

Пример 3

Есть система большого количества трубок. Все трубки были заполнены водой. Затем во все трубки добавили разные жидкости и разной высоты слоев. У всех добавленных жидкостей плотность меньше плотности воды, и они не перемешиваются с водой. На сколько поднимется вода в последней (N+1) трубке, куда ничего не лили?

29

h_1 \to \rho_1

h_2 \to \rho_2

...

h_{15} \to \rho_{15} x = \frac{(h_1\rho_1 + h_2\rho_2 + \dots + h_{15}\rho_{15}) \cdot S}{(16 \cdot \rho_0 \cdot S)}

Решение аналогично примеру 2. [Для двух трубок можно оставить старый способ через несжимаемость жидкости и условия равновесия.]

Было: mg = \rho_{в} 16 S g h Стало: mg + \Delta mg = \rho_0 \cdot 16 \cdot S \cdot g \cdot (h + x) Расписать добавленную массу \Delta m m_1 = \rho_1 \cdot h_1 \cdot S m_2 = \rho_2 \cdot h_2 \cdot S и т.д. \rho_{в} 16 Sgh + (m_1 + m_2 \dots m_{15})g = \rho_0 16 Sgh + \rho_0 16 Sg x (\rho_1 h_1 S + \rho_2 h_2 S + \dots \rho_{15} h_{15} S)g = \rho_0 16 Sg x (\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2 + \dots \rho_{15} h_{15}) = \rho_0 16 x x = \frac{(\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2 + \dots \rho_{15} h_{15})}{16 \rho_0 } \text{(здесь h в знаменателе излишне, по размерности)} Ответ: x = \frac{(\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2 + \dots \rho_{15} h_{15})}{16 \rho_0}

Пример 4 (новым способом решаем)

В сосуде с водой плавает льдинка. Как изменится уровень воды в сосуде после таяния льдинки (т.е. сравнить h_2 и h_1 )?

30 Записываем силу на дно двумя способами:

1) F_{на дно} = \rho g h_1 S F_{от дна} = m_{сод} g \rho g h_1 S = m_{сод} g

2) F_{на дно} = \rho g h_2 S F_{от дна} = m_{сод} g \rho g h_2 S = m_{сод} g

Но! m_{сод} не изменилось! \rho g h_1 S = \rho g h_2 S h_1 = h_2

Ответ: уровень жидкости не изменился.

Пример 5

В сосуде с водой плавает льдинка с вмёрзшей в неё свинцовой дробинкой. Как изменится уровень воды в сосуде после таяния льда?

1) 31 F_{1 на дно} = \rho g h_1 S с др. сторона F_{1 от дна} = m_{сод} g \rho g h_1 S = m_{сод} g

2) 32

N — сила, с которой дробинка давит на дно;

m_{сод} g — осталось тем же. F_{2 на дно} = \rho g h_2 S + N F_{2 от дна} = m_{сод} g \rho g h_2 S + N = m_{сод} g

\rho g h_1 S = \rho g h_2 S + N h_1 > h_2

Ответ: уровень понизится.

Пример 6

В сосуде с водой плавает льдинка с вмёрзшим в неё деревянным кубиком. Как изменится уровень воды в сосуде?

Кроме воды здесь ничто не касается дна, поэтому: F_{1 на дно} = \rho g h_1 S, \quad F_{2 на дно} = \rho g h_2 S

1) 33 F_{1 на дно} = \rho g h_1 S с др. стороны F_{1 от дна} = m_{сод} g

2) 34 F_{2 на дно} = \rho g h_2 S с др. стороны F_{2 от дна} = m_{сод} g

\rho g h_1 S = \rho g h_2 S \Rightarrow h_1 = h_2 Ответ: не изменится.