Динамика и кинематика движения по окружности

Динамика и кинематика движения по окружности Задача 7 Условие Шофер, едущий на автомобиле, внезапно заметил впереди себя забор, перпендикулярный направлению его движения. Что выгоднее сделать, чтобы предотвратить аварию: затормозить или повернуть в сторону? Решение Если шофер затормозит, автомобиль остановится, когда его кинетическая энергия израсходуется на работу против силы трения. При повороте автомобиля та же сила трения будет играть роль центростремительной силы, заставляющей автомобиль двигаться по дуге окружности. В случае торможения $m v^2 / 2=f x$, где $f-$ сила трения, $x$ - путь, который пройдет автомобиль после включения тормоза. Отсюда $x=m v^2 / 2 f$. Очевидно, чтобы автомобиль не врезался в стену, должно быть $x=m v^2 / 2 f \leq s$, или $f \geq m v^2 / s$. В случае поворота $$ f=m v^2 / R $$ и, чтобы автомобиль не разбился, должно быть $$ R=m v^2 / f \leq s \text { или } f \geq m v^2 / s $$ Для того чтобы избежать столкновения со стенкой, при торможении нужна сила трения, вдвое Меньшая, чем при повороте. Очевидно, выгоднее тормозить, чем поворачивать. Ответ выгоднее тормозить, чем поворачивать. Задача 8 Условие Кольцевая цепочка массы $m$ надета на горизонтальный диск радиуса $R$. Сила натяжения надетой цепочки $T$. Найдите коэффициент трения между диском и цепочкой, если при вращении диска с угловой скоростью, равной или превышающей $\omega$, цепочка с него спадает. Решение Рассмотрим маленький кусочек жгута длины $d l=2 \alpha R$. На кусочек жгута действует сила трения $F_{тр}$ $$ F_{тр}=\mu N. $$ В силу однородности жгута, кусочек длины $d l=2 \alpha R$ будет иметь массу $$ d m=m \frac{\alpha}{\pi}. $$ При этом на него будет действовать центростремительное ускорение $$ a=\omega^2 R. $$ Второй закон Ньютона запишем как $$ \begin{gathered} d m a=N \\ m \frac{\alpha}{\pi} \omega^2 R=N \end{gathered} $$ Откуда сила трения $$ F_{тр}=\mu m \frac{\alpha}{\pi} \omega^2 R. $$ Учитывая $\sin \alpha \approx \alpha$ при малых углах, запишем условие равновесия на вертикальную ось $$ \begin{gathered} 2 T \alpha+F_{тр}=d m g \\ 2 T \alpha+\mu m \frac{\alpha}{\pi} \omega^2 R=m g \frac{\alpha}{\pi} \end{gathered} $$ Откуда находим $\mu$: $$ \mu=\frac{m g}{2 \pi T-m \omega^2 R}. $$ Ответ $\mu=\frac{m g}{2 \pi T-m \omega^2 R}.$ Задача 9 Условие В сферическую полость поместили гантель (два шарика массы $m$ каждый, соединённые невесомым стержнем) так, как это показано на рисунке. Определите силу давления шариков на стенки сразу же после того, как гантель отпустили. Радиус шариков гантели много меньше радиуса сферы. Решение Записываем условие равновесия на оси: $$ \begin{gathered} 0=N_1-m g-T \cos \alpha \\ 0=N_2-m g \cos (\pi-2 \alpha)+T \cos \alpha \end{gathered} $$ Нетрудно догадаться, что проектирование велось по направлениям $N_1$ и $N_2$. Из этой системы находим $$ \begin{gathered} N_1-N_2 \geq 2 m g \\ N_1+N_2 \geq m g-m g \cos (\pi-2 \alpha) \end{gathered} $$ т.к. $\cos (\pi-2 \alpha)=\cos 2 \alpha$, то $$ N_1+N_2=m g-m g \cos 2 \alpha $$ По условию задачи $\alpha=90^{\circ}$ С учетом этого окончательно получим $$ \begin{gathered} N_1=3 m g N_2=-m g / 2 \end{gathered} $$ Ответ $3 m g$, $m g / 2$.