Баллистика. Координаты: Часть 3

Задача 8

Условие

Из шланга хотят наполнить водой вкопанный в землю цилиндрический бак с вертикальной стенкой высотой H и радиусом дна H (см. рис.). Конец шланга находится на расстоянии H по вертикали и H по горизонтали от ближнего края бака. При выходе из шланга площадь поперечного сечения струи S , а скорость воды V=\sqrt{0.5 g H} . Считать, что поперечные размеры струи при полёте воды значительно меньше H . Вода в струе движется в плоскости рисунка. Сопротивлением воздуха пренебречь.

c9_3

1. За какое время бак заполнится водой, если струя попадает в бак?

2. Под каким углом к горизонту должна выходить струя воды из шланга, чтобы попасть в ближнюю верхнюю точку A бака? Можно найти значение тангенса угла.

3. Под какими углами к горизонту должна выходить струя воды из шланга, чтобы попасть в бак? Можно найти диапазон изменения тангенсов углов.

Решение

1. Имеем: V T \cdot S=\pi H^2 \cdot H . Время наполнения

T=\frac{\pi H^3}{V S}=\frac{\pi \sqrt{2} H^3}{S \sqrt{g H}}. 2. Начало координат поместим в конец шланга, оси x и y направим горизонтально направо и вертикально вверх, получаем x=V \cos \alpha \cdot t и y=V \sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2} g t^2 . Найдем угол, при котором струя попадет в точку A . Тогда H=V \cos \alpha \cdot t или -H=V \sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2} g t^2 . Исключая время t с учетом выражения для V , получаем tg^2 \alpha-tg \alpha=0 . Отсюда tg \alpha=1 или tg \alpha=0 . Имеем два значения угла: \alpha=45^{\circ} и \alpha=0 .

3. Найдем углы, при которых струя попадет в дальнюю верхнюю точку B бака. Тогда 3 H=V \cos \alpha \cdot t или -H=V \sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2} g t^2 . Исключая время t с учетом выражения для V , получаем 9 tg^2 \alpha-3 tg \alpha+8=0 . Это уравнение не имеет корней. Следовательно, ни при каких углах струя не достигнет точки B . Итак, чтобы попасть в бак, струя должна выходить под такими углами, чтобы 0<tg \alpha<1 (или 0<\alpha<45^{\circ} ).

Ответ 1. \frac{\pi \sqrt{2} H^3}{S \sqrt{g H}} ; 2. \alpha=45^{\circ} и \alpha=0 ; 3. 0<\alpha<45^{\circ} .

Задача 9

Условие

С высокой башни бросают два маленьких камешка с интервалом времени \Delta t . Начальные скорости камешков одинаковы и направлены под одним и тем же углом \alpha ( \alpha>0 ; см. рисунок). Найти минимальное расстояние между камешками в процессе последующего движения. В какой момент времени расстояние между камешками достигнет минимального значения? Начальные скорости камешков v_0 , сопротивлением воздуха пренебречь.

с9.4

Решение

Из законов равноускоренного движения имеем

\vec{R}(t)=\vec{R}_0+\vec{v}_0 t+\frac{\vec{g} t^2}{2} c9.5

где \vec{R}(t) - радиус-вектор тела относительно некоторой системы координат, \vec{R}_0 - начальный радиус-вектор относительно той же системы координат. Помещая начало системы координат в точку А, получим ( \tau - искомый момент времени)

\begin{gathered}

\vec{R}(\tau)=\vec{R}_{A B}=\vec{v}_0 \tau+\frac{\vec{g} \tau^2}{2} \\

\vec{R}(\tau+\Delta t)=\vec{R}_{A C}=\vec{v}_0(\tau+\Delta t)+\frac{\left.\vec{g}(\tau+\Delta t)^2\right)}{2} \\

\vec{R}(\tau+\Delta t)-\vec{R}(\tau)=\vec{R}_{A C}=\vec{v}_0(\tau+\Delta t)+\frac{\vec{g}(\tau+\Delta t)^2}{2}-\vec{v}_0 \tau+\frac{\vec{g} \tau^2}{2}=\vec{v}_0 \Delta t+\frac{\vec{g}(2 \tau+\Delta t) \Delta t}{2}

\end{gathered} - искомое расстояние. Найдём его модуль, спроецировав векторы скорости и ускорения на вертикальную и горизонтальные оси:

S=\sqrt{\left(v_0 \Delta t \cos \alpha\right)^2+\left(v_0 \Delta t \sin \alpha-\frac{g(2 \tau+\Delta t) \Delta t}{2}\right)^2} Видно, что минимальное значение S=v_0 \Delta t \cos \alpha достигается при условии

v_0 \Delta t \sin \alpha-\frac{g(2 \tau+\Delta t) \Delta t}{2}=0 \rightarrow \tau=\frac{v_0 \sin \alpha}{g}-\frac{\Delta t}{2}. Ответ S=\sqrt{\left(v_0 \Delta t \cos \alpha\right)^2+\left(v_0 \Delta t \sin \alpha-\frac{g(2 \tau+\Delta t) \Delta t}{2}\right)^2} ; \tau=\frac{v_0 \sin \alpha}{g}-\frac{\Delta t}{2} .