Баллистика. Координаты

Баллистика. Координаты Задача 8 Условие Из шланга хотят наполнить водой вкопанный в землю цилиндрический бак с вертикальной стенкой высотой $H$ и радиусом дна $H$ (см. рис.). Конец шланга находится на расстоянии $H$ по вертикали и $H$ по горизонтали от ближнего края бака. При выходе из шланга площадь поперечного сечения струи $S$, а скорость воды $V=\sqrt{0.5 g H}$. Считать, что поперечные размеры струи при полёте воды значительно меньше $H$. Вода в струе движется в плоскости рисунка. Сопротивлением воздуха пренебречь. 1. За какое время бак заполнится водой, если струя попадает в бак? 2. Под каким углом к горизонту должна выходить струя воды из шланга, чтобы попасть в ближнюю верхнюю точку $A$ бака? Можно найти значение тангенса угла. 3. Под какими углами к горизонту должна выходить струя воды из шланга, чтобы попасть в бак? Можно найти диапазон изменения тангенсов углов. Решение 1. Имеем: $V T \cdot S=\pi H^2 \cdot H$. Время наполнения $$ T=\frac{\pi H^3}{V S}=\frac{\pi \sqrt{2} H^3}{S \sqrt{g H}}. $$ 2. Начало координат поместим в конец шланга, оси $x$ и $y$ направим горизонтально направо и вертикально вверх, получаем $x=V \cos \alpha \cdot t$ и $y=V \sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2} g t^2$. Найдем угол, при котором струя попадет в точку $A$. Тогда $H=V \cos \alpha \cdot t$ или $-H=V \sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2} g t^2$. Исключая время $t$ с учетом выражения для $V$, получаем $tg^2 \alpha-tg \alpha=0$. Отсюда $tg \alpha=1$ или $tg \alpha=0$. Имеем два значения угла: $\alpha=45^{\circ}$ и $\alpha=0$. 3. Найдем углы, при которых струя попадет в дальнюю верхнюю точку $B$ бака. Тогда $3 H=V \cos \alpha \cdot t$ или $-H=V \sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2} g t^2$. Исключая время $t$ с учетом выражения для $V$, получаем $9 tg^2 \alpha-3 tg \alpha+8=0$. Это уравнение не имеет корней. Следовательно, ни при каких углах струя не достигнет точки $B$. Итак, чтобы попасть в бак, струя должна выходить под такими углами, чтобы $0 Ответ 1. $\frac{\pi \sqrt{2} H^3}{S \sqrt{g H}}$; 2. $\alpha=45^{\circ}$ и $\alpha=0$; 3. $0 Задача 9 Условие С высокой башни бросают два маленьких камешка с интервалом времени $\Delta t$. Начальные скорости камешков одинаковы и направлены под одним и тем же углом $\alpha$ ($\alpha>0$; см. рисунок). Найти минимальное расстояние между камешками в процессе последующего движения. В какой момент времени расстояние между камешками достигнет минимального значения? Начальные скорости камешков $v_0$, сопротивлением воздуха пренебречь. Решение Из законов равноускоренного движения имеем $$ \vec{R}(t)=\vec{R}_0+\vec{v}_0 t+\frac{\vec{g} t^2}{2} $$ где $\vec{R}(t)$ - радиус-вектор тела относительно некоторой системы координат, $\vec{R}_0$ - начальный радиус-вектор относительно той же системы координат. Помещая начало системы координат в точку А, получим ( $\tau$ - искомый момент времени) $$ \begin{gathered} \vec{R}(\tau)=\vec{R}_{A B}=\vec{v}_0 \tau+\frac{\vec{g} \tau^2}{2} \\ \vec{R}(\tau+\Delta t)=\vec{R}_{A C}=\vec{v}_0(\tau+\Delta t)+\frac{\left.\vec{g}(\tau+\Delta t)^2\right)}{2} \\ \vec{R}(\tau+\Delta t)-\vec{R}(\tau)=\vec{R}_{A C}=\vec{v}_0(\tau+\Delta t)+\frac{\vec{g}(\tau+\Delta t)^2}{2}-\vec{v}_0 \tau+\frac{\vec{g} \tau^2}{2}=\vec{v}_0 \Delta t+\frac{\vec{g}(2 \tau+\Delta t) \Delta t}{2} \end{gathered} $$ - искомое расстояние. Найдём его модуль, спроецировав векторы скорости и ускорения на вертикальную и горизонтальные оси: $$ S=\sqrt{\left(v_0 \Delta t \cos \alpha\right)^2+\left(v_0 \Delta t \sin \alpha-\frac{g(2 \tau+\Delta t) \Delta t}{2}\right)^2} $$ Видно, что минимальное значение $S=v_0 \Delta t \cos \alpha$ достигается при условии $$ v_0 \Delta t \sin \alpha-\frac{g(2 \tau+\Delta t) \Delta t}{2}=0 \rightarrow \tau=\frac{v_0 \sin \alpha}{g}-\frac{\Delta t}{2}. $$ Ответ $S=\sqrt{\left(v_0 \Delta t \cos \alpha\right)^2+\left(v_0 \Delta t \sin \alpha-\frac{g(2 \tau+\Delta t) \Delta t}{2}\right)^2}$; $\tau=\frac{v_0 \sin \alpha}{g}-\frac{\Delta t}{2}$.