Гидрокинематика и гидродинамика: Часть 3

Задача 12

Условие

Смесь свинцовых дробинок с диаметрами d_1=3 мм и d_2=1 мм опустили в бак с глицерином высотой h=1 м. На сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диаметра по сравнению с дробинками большего диаметра? Динамическая вязкость глицерина \eta=1.47 Па \cdot с.

Решение

Считая движение дробинок равномерным, запишем второй закон Ньютона в общем случае m g-F_{Арх}-F=0, где масса дробинки m=\rho_{c} V=\rho_{c} \pi d^3 / 6. Сила Архимеда F_{Арх}=\rho_{г} V g=\rho_{г} g \frac{\pi d^3}{6} . Сила сопротивления глицерина F=3 \pi \eta d v по закону Стокса.

Подставив уравнения в первое, после несложных преобразований получим 18 \eta v=d^2 g\left(\rho_{с}-\rho_{г}\right). Здесь \rho_{с} - плотность свинца, \rho_{г} - плотность глицерина.

При равномерном движении скорость v=\frac{h}{t}. Выразим время t за которое дробинка достигнет дна t=\frac{18 \eta h}{d^2 g\left(\rho_{c}-\rho_{г}\right)}. Тогда \Delta t=t_2-t_1=\frac{18 \eta h}{g\left(\rho_{c}-\rho_{г}\right)} ; \quad \Delta t=4 \ мин.

Ответ \Delta t=4 \ мин.

Задача 13

Условие

В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом R=2 \ см вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус r=1 \ мм которого и длина l=2 \ см . В сосуд налито касторовое масло, динамическая вязкость которого \eta = 1.2 Па.с. Найти зависимость скорости v понижения уровня касторового масла в сосуде от высоты h этого уровня над капилляром. Найти значение этой скорости при h=26 \ см .

Решение

Объем масла, вытекающего за время t из сосуда через капилляр, определяется формулой Пуазёйля: V=\frac{\pi r^4 t \Delta P}{8 l \eta}, где разность давлений на концах капилляра \Delta P=\rho g h. С другой стороны, V=S^{\prime} v^{\prime} t=\pi r^2 v^{\prime} t, где v^{\prime}- скорость протекания масла через капилляр.

Решая совместно систему уравнений, найдем v^{\prime}=\frac{r^2 \rho g h}{8 l \eta}. В силу неразрывности струи v^{\prime} S^{\prime}=v S, где S - площадь поперечного сечения сосуда, отсюда v=\frac{v^{\prime} S^{\prime}}{S}=\frac{v^{\prime} r^2}{R^2}. Окончательно имеем v=\frac{r^4 \rho g h}{8 l \eta R^2} . При h=0.26 \ м скорость v=3 \cdot 10^{-5} \ м/с .

Ответ v=\frac{r^4 \rho g h}{8 l \eta R^2}=3 \cdot 10^{-5} \ м/с .