Гидрокинематика и гидродинамика

Гидрокинематика и гидродинамика Задача 12 Условие Смесь свинцовых дробинок с диаметрами $d_1=3$ мм и $d_2=1$ мм опустили в бак с глицерином высотой $h=1$ м. На сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диаметра по сравнению с дробинками большего диаметра? Динамическая вязкость глицерина $\eta=1.47$ Па $\cdot$ с. Решение Считая движение дробинок равномерным, запишем второй закон Ньютона в общем случае $$m g-F_{Арх}-F=0,$$ где масса дробинки $$m=\rho_{c} V=\rho_{c} \pi d^3 / 6.$$ Сила Архимеда $$F_{Арх}=\rho_{г} V g=\rho_{г} g \frac{\pi d^3}{6} .$$ Сила сопротивления глицерина $$F=3 \pi \eta d v$$ по закону Стокса. Подставив уравнения в первое, после несложных преобразований получим $$18 \eta v=d^2 g\left(\rho_{с}-\rho_{г}\right).$$ Здесь $\rho_{с}$ - плотность свинца, $\rho_{г}$ - плотность глицерина. При равномерном движении скорость $$v=\frac{h}{t}.$$ Выразим время $t$ за которое дробинка достигнет дна $$t=\frac{18 \eta h}{d^2 g\left(\rho_{c}-\rho_{г}\right)}.$$ Тогда $$\Delta t=t_2-t_1=\frac{18 \eta h}{g\left(\rho_{c}-\rho_{г}\right)} ; \quad \Delta t=4 \ мин.$$ Ответ $\Delta t=4 \ мин.$ Задача 13 Условие В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом $R=2 \ см$ вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус $r=1 \ мм$ которого и длина $l=2 \ см$. В сосуд налито касторовое масло, динамическая вязкость которого $\eta = 1.2$ Па.с. Найти зависимость скорости $v$ понижения уровня касторового масла в сосуде от высоты $h$ этого уровня над капилляром. Найти значение этой скорости при $h=26 \ см$. Решение Объем масла, вытекающего за время $t$ из сосуда через капилляр, определяется формулой Пуазёйля: $$V=\frac{\pi r^4 t \Delta P}{8 l \eta},$$ где разность давлений на концах капилляра $$\Delta P=\rho g h.$$ С другой стороны, $$V=S^{\prime} v^{\prime} t=\pi r^2 v^{\prime} t,$$ где $v^{\prime}-$ скорость протекания масла через капилляр. Решая совместно систему уравнений, найдем $$v^{\prime}=\frac{r^2 \rho g h}{8 l \eta}.$$ В силу неразрывности струи $$v^{\prime} S^{\prime}=v S,$$ где $S$ - площадь поперечного сечения сосуда, отсюда $$v=\frac{v^{\prime} S^{\prime}}{S}=\frac{v^{\prime} r^2}{R^2}.$$ Окончательно имеем $$v=\frac{r^4 \rho g h}{8 l \eta R^2} .$$ При $h=0.26 \ м$ скорость $v=3 \cdot 10^{-5} \ м/с$. Ответ $v=\frac{r^4 \rho g h}{8 l \eta R^2}=3 \cdot 10^{-5} \ м/с$.