Уравнения и неравенства с параметрами

Уравнения и неравенства с параметрами Главная трудность, возникающая при решении задач с параметрами, состоит в том, что для различных значениях параметра, входящего в условие задачи, методы решения задачи могут быть разными, то есть оказывается, что при одних значениях параметра применим один метод решения, при других - другой. Таким образом, решение задач с параметрами может быть проведено по той же схеме, что и для задач без параметра, однако требуется дополнительное исследование применимости выбранного метода. Простейшие задачи с параметрами Рассмотрим сначала основной тип задач с параметрами - задачи, в которых требуется решить уравнение или неравенство при любых значениях параметра. Пример 1.1. Условие При всех значениях параметра $a$ решите уравнение $ax = 1$. Решение Заметим, что уравнение имеет смысл при любом $a$. Если бы рассматривалось аналогичное уравнение без параметра (или при фиксированном значении параметра), например, $5x = 1$, то для его решения следовало бы разделить обе части на 5 и сразу получить ответ $x = \frac{1}{5}$. Нетрудно видеть, что данный метод решения применим не при всех значениях параметра $a$, а именно он не применим при $a = 0$, так как операция деления на 0 не определена. Таким образом, при $a \ne 0$ решение будет $x = \frac{1}{a}$. Случай $a = 0$ следует рассмотреть отдельно. Уравнение при $a = 0$ примет вид $0 = 1$. Оно не имеет решений ни при каких $x$. Отсюда получаем ответ. Ответ если $a \ne 0$, то $x = \frac{1}{ a} $; если $a = 0$, то нет решений. Отметим, что поскольку в условии задачи требовалось решить уравнение при всех значениях параметра, то в ответе должны обязательно присутствовать все возможные значения $a$ (даже если каждый раз ему ставится в соответствие одинаковое решение), и ни одно из них не должно входить в ответ более одного раза. Задача 1.2. Условие При всех значениях параметра $a$ решите уравнение $$(a-2)(x-1) =3.$$ Решение Рассмотрим 2 случая: $$ \begin{aligned} &1) \qquad a=0 \quad \Rightarrow \quad 0=3 \quad \Rightarrow \quad решений нет; \\ &2) \qquad a \neq 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1+ \frac{3}{a-2}. \end{aligned} $$ Ответ если $a=2$, то нет решений; если $a \ne 2$, то $x=1+\frac{3}{a-2}$. Теперь рассмотрим пример неравенства. Пример 1.5. Условие При всех значениях параметра $a$ решите неравенство $$ax Решение Если бы решалось неравенство при фиксированном значении параметра, например, при $a = 5$, то есть $5x $$ \left\{ \begin{array}{l} a > 0,\\ ax 0,\\ x $$ \left\{ \begin{array}{l} a \frac{1}{a}. \end{array}\right. $$ $$ \left\{ \begin{array}{l} a = 0,\\ ax Отсюда получаем ответ. Ответ если $a \in (-\infty; 0)$, то $x \in \left( \frac{1}{a}; +\infty \right)$; если $a = 0$, то $x \in \mathbb{R};$ если $a \in ( 0; +\infty)$, то $x \in \left(-\infty; \frac{1}{a} \right)$. Снова в ответе присутствуют все возможные значения $a$, и ни одно из них не входит в ответ более одного раза. Задача 1.10. Условие При всех значениях параметра $a$ решите уравнение $$ \left( {a^2 - 5a + 6} \right)\left( {x - 1} \right) = a - 2. $$ Решение $$ \left( {a^2 - 5a + 6} \right)\left( {x - 1} \right) = a - 2 \quad \Longleftrightarrow \quad (a-3)(a-2)(x-1)=a-2. $$ Рассмотрим 3 случая: $$ \begin{aligned} & 1. \qquad \left\{ \begin{aligned} &a \neq 3, \; a \neq 2 \\ & x-1 = \frac{1}{a-3} \end{aligned} \right. \quad \Longleftrightarrow \quad \fbox{$при a \neq 2, 3; \quad x = 1 + \frac{1}{a-3}$} \\ & 2. \qquad \left\{ \begin{aligned} &a = 2 \\ & 0=0 \end{aligned} \right. \quad \Longleftrightarrow \quad \fbox{$при a = 2; \quad x \in \mathbb{R}$} \\ & 3. \qquad \left\{ \begin{aligned} &a = 3 \\ & 0=1 \end{aligned} \right. \quad \Longleftrightarrow \quad \fbox{$при a = 3; \quad нет решений$} \end{aligned} $$ Ответ если $a \ne 2,\;a \ne 3$, то $x = 1 + \frac{1}{a - 3}$; если $a = 2$, то $x \in \mathbb{R}$; если $a = 3$, то нет решений. Построение решений более сложных уравнений и неравенств с параметрами Пример 1.20. Условие При всех значениях параметра $a$ решите неравенство $$ \left( {x - a} \right)\left( {x - 3a} \right) Решение Чтобы решить квадратное неравенство методом интервалов, удобно изобразить корни на числовой прямой (см. рис. 1). В данном случае проблема состоит в том, что при разных значениях параметра $a$ взаимное расположение корней $x_1 = a$ и $x_2 = 3a$ различно. В частности, при $a > 0 \quad x_2 > x_1 $, при $a Изобразим числовую ось с расположенными на ней корнями для $a > 0$, $a Ответ если $a \in (-\infty; 0) $, то $ x \in (3a; a)$; если $a = 0$, то нет решений; если $a \in (0;+\infty) $, то $ x \in (a; 3a)$.