Могилевский_И_Е__Стереометрия_с_1111

Куб Начнем с куба, как и в первой части. Так как вычисление площади поверхности и объема куба, а также различных углов не представляет проблемы, сразу перейдем к построению сечений, проходящих через три произвольно заданные точки. Построение сечений. Площадь сечения Пример 2.1 Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть на ребре $C_1D_1$ задана точка $K$, на ребре $CC_1$ задана точка $L$, а на ребре $AD$ — точка $M$, как показано на рис. 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки $K$, $L$, $M$. Решение. Обозначим искомую плоскость $\alpha$. Точки $K$ и $L$ лежат в плоскости $DD_1C$. Проведем через эти точки прямую и продолжим ребро $DC$, также лежащее в плоскости $DD_1C$, до пересечения с этой прямой в точке $P_1$ (рис. 2). Отрезок $KL$ — линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $DD_1C$. Точка $P_1$ принадлежит как плоскости $ABC$, так и плоскости сечения $\alpha$. Проведем прямую $MP_1$ (рис. 3), по которой плоскость сечения пересекает плоскость $ABC$. Соединим точку $P_2$ — точку пересечения прямых $MP_1$ и $BC$ — с точкой $L$. Отрезок $P_2L$ — линия пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $BB_1C$. Плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Проведем в плоскости $A_1B_1C_1$ через точку $K$ прямую, параллельную $P_2M$ (рис. 4). Она пересекает $A_1D_1$ в точке $P_3$. Соединяя $P_3$ и $M$, получаем сечение куба плоскостью $\alpha$: $KLP_2MP_3$ (рис. 5). Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть на ребре $AB$ задана точка $K$, на ребре $B_1C_1$ задана точка $L$, а на ребре $AA_1$ — точка $M$, как показано на рис. 6. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки $K$, $L$, $M$. Ответ: рис. 7. Ответ к задаче 2.2 на построение сечений Пример 2.2 Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$, точка $M$ — середина ребра $C_1D_1$. Постройте сечение куба плоскостью $AB_1M$ и найдите его площадь. Решение. Построим сечение $AB_1ML$ куба (рис. 8). Оно представляет собой равнобедренную трапецию. Действительно, если две параллельные плоскости ($AA_1B_1$ и $DD_1C_1$) пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны, поэтому $AB_1 \| LM$. Кроме того, $\triangle ADL = \triangle B_1C_1M$ по двум катетам, поэтому трапеция равнобедренная. Ее боковую сторону можно найти из $\triangle B_1MC_1$: $B_1M = \sqrt{B_1C_1^2 + MC_1^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt 5}{2}$. В равнобедренной трапеции $B_1MLA$ (рис. 16) проведем высоты $MH_1$ и $LH_2$, они отсекают равные отрезки $B_1H_1$ и $H_2A$. Отрезок $\displaystyle B_1H_1 = \frac{B_1A - ML}{2} = \frac{1}{2} \left( a\sqrt 2 - \frac{a\sqrt 2}{2} \right)$. В $\triangle B_1MH_1$ по теореме Пифагора высота трапеции $$ MH_1 = \sqrt{B_1M^2 - B_1H_1^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt 5}{2} \right)^2 - \left(\frac{a\sqrt 2}{4} \right)^2} = \frac{3a}{2\sqrt 2}. $$ Отсюда площадь сечения $$ \displaystyle S = \frac{1}{2} \left( \frac{a\sqrt 2}{2} + a \sqrt 2 \right) \cdot \frac{3a}{2\sqrt 2} = \frac{9a^2}{8}. $$ Ответ: $\displaystyle \frac{9a^2}{8}$.