Финансовые задачи

Семинар 5 Финансовые задачи Решение. Предположим, что Вася купил квартиру в кредит, который он должен погасить за $20$ лет, то есть за $240$ ежемесячных платежей. Сумма, которую он выплатит в этом случае, равна $$ \left(1+\frac{260}{100}\right)\cdot 2 млн. руб=7,2 млн. руб=7200 тыс. руб . $$ Тогда в месяц он будет платить $\cfrac{7200}{240}=30$ тыс. руб. Если Вася будет платить за аренду квартиры $y=14$ тыс. руб. в месяц, то он экономит каждый месяц $x-y=16$ тыс. руб. Количество месяцев, за которое он сможет накопить на квартиру, $n\geqslant\cfrac{2000}{16} = 125$. Значит, через $125$ месяцев, то есть за 10 лет и 5 месяцев Вася сможет купить квартиру. Ответ: $125$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. В первые 5 лет (60 месяцев) арендная плата равна $y_1=14$ тыс. руб. Во вторые 5 лет (следующие 60 месяцев) арендная плата равна $y_2=15$ тыс. руб. Поскольку из предыдущей задачи мы знаем, что ему нужно копить больше 10 лет, значит вторые 5 лет точно пройдут, и в это время он сможет откладывать меньше, чем в случае неизменной арендной платы. В первые 5 лет Вася будет экономить каждый месяц $x-y_1=16$ тыс. руб., во вторые 5 лет — $x-y_2=15$ тыс. руб. За первые 10 лет Вася накопит $60\cdot 16 + 60\cdot 15=1860$ тыс. руб. К этому моменту до покупки квартиры ему нужно будет накопить еще $140$ тыс. руб. В это время арендная плата стане равной $y_3=16$ тыс. руб., и Вася сможет откладывать по $x-y_3=14$ тыс. руб. ежемесячно. Значит, накопить $140$ тыс. руб. он сможет за 10 месяцев. Тогда общее количество месяцев, за которое он сможет накопить на квартиру, равно $60+60+10=130$ месяцев, то есть 10 лет и 10 месяцев. Ответ: 10 лет 10 месяцев. Решение. Отметим, что по условию задачи стоимость ценной бумаги возрастает линейно, а сумма на банковском счете растет экспоненциально. Отсюда следует, что если в какой-то момент скорость роста суммы на счете станет больше скорости роста цены бумаги, то и в дальнейшем держать деньги на счете будет выгоднее. Цена бумаги в год с номером $n$ будет равна $p_n=7000+2000(n-1)$. Продать ценную бумагу нужно в течение года с таким номером, за который процент по вкладу превысит $2000$ рублей, то есть $0,1p_n \geqslant 2000$ или $p_n \geqslant 20\,000$. Получим неравенство $$7000+2000(n-1) \geqslant 20\,000,$$ откуда $n \geqslant 7,5$, то есть минимальный целый номер года будет равен 8. Так как исходная цена бумаги $7$ тыс. рублей, и каждый год она возрастает на $2$ тыс. рублей, то к началу седьмого года цена составит $19$ тыс. рублей, и продавать ее еще невыгодно; к началу же восьмого года цена составит $21$ тыс. рублей, и доход в банке с этой суммы будет $2100$ рублей, то есть превысит сумму, на которую увеличивается стоимость ценной бумаги. Следовательно, продавать ценную бумагу нужно в течение восьмого года. Ответ: в течение восьмого года.