Экономические нелинейные задачи часть 2

Семинар 4 Решение. Пусть на первый объект будет направлено $x$ рабочих, суточная зарплата которых составит $4x^2$ у. е. Тогда на второй объект будет направлено $24-x$ рабочих, суточная заработная плата которых составит $(24-x)^2$ у. е. В день начальник будет должен платить рабочим (в у. е.) $$S(x)= 4x^2 + (24-x)^2=5x^2-48x+24^2$$ Полученное выражение представляет собой квадратный трехчлен, наименьшеее значение которого достигается при $x_0 =- \cfrac{-48}{2\cdot 5}=4,8$. Так как число рабочих не может быть дробным, то минимум достигается либо при $x=4$, либо при $x=5$. Вычисляя значения квадратного трехчлена в этих точках, $ S(4)=464$, $S(5)=461$, получаем, что наименьшее значение достигается при $x=5$. Значит, платить придется $461$ у.е. Ответ: $5$ рабочих на 1-й объект, $19$ рабочих на 2-й объект; $461$ у.е. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. Пусть на первом заводе рабочие трудятся суммарно $4x^3$ часов в неделю, а на втором — $y^3$ часов в неделю. Тогда на первом заводе будет произведено $x$ единиц товара, а на втором заводе будет произведено $y$ единиц товара, на оплату труда придется выделить $S=1000(4x^3 + y^3)$ рублей. Поскольку необходимо, чтобы за неделю производилось 20 приборов, то $x+y=20$, или $y=20-x$. Тогда получаем $$ S=1000\left(4x^3+(20-x)^3\right)=1000 \left(3x^3+3\cdot 20x^2-3\cdot 20x^2+20^3 \right). $$ Чтобы найти наименьшую возможную сумму для оплаты труда рабочих, найдем производную и приравняем ее к нулю: $$ S'(x) = 1000\cdot 3 \left(3x^2+40x-400 \right)=0, $$ откуда $x = \cfrac{20}{3}$ (отрицательный корень не подходит по смыслу). Определяя знак производной при положительных $x \cfrac{20}{3}$, убеждаемся, что $x=\cfrac{20}{3}$ — точка минимума функции. Однако $x$ — это количество приборов, призводимых на первом заводе, и оно должно быть целым числом. Вычисляя значения $S(x)$ в ближайших к точке минимума целых точках $ S(6)=3\,608\,000$, $S(7)=3\,569\,000$, получаем, что наименьшее значение достигается при $x=7$. Значит, выделить на оплату придется $3\,569\,000$ руб. Ответ: $3\,569\,000$ руб.