Экономические линейные задачи часть 2

Семинар 2 Решение. Для удобства будем использовать условную единицу измерения работы — человекочас (чел-ч). На первой шахте общий объем работ составит $20\cdot 5 = 100$ чел-ч в день, а на второй $100\cdot 5 =500$ чел-ч. Пусть в первой шахте $x$ чел-ч выделяются на добычу алюминия, а $(100 - x)$ чел-ч — на добычу никеля, при этом 1 чел-ч на первой шахте приносит $1$ кг алюминия или $2$ кг никеля. Во второй шахте $y$ чел-ч выделяются на добычу алюминия, а $(500 - y)$ чел-ч — на добычу никеля, при этом 1 чел-ч на второй шахте приносит $2$ кг алюминия или $1$ кг никеля. Тогда массы добытых за сутки алюминия и никеля будут соответственно равны $$ \begin{array}{l} m_{Al} = x + 2y, \\ m_{Ni} = 2\cdot (100 - x) + 500 - y. \end{array} $$ Поскольку в сплаве массы алюминия и никеля относятся как $2:1$, получим уравнение $$ x + 2y = 2 (200 - 2x +500-y), $$ откуда $y = 350 - \cfrac{5}{4} x$. Масса сплава равна сумме масс алюминия и никеля, следовательно, $$ M = x + 2y + 2\cdot (100 - x) + 500 - y = 700 - x + y= 700-x+350 - \cfrac{5}{4} x=1050-\cfrac{9}{4} x. $$ Масса произведенного сплава является линейно убывающей функцией переменной $x$. Значит, для максимальной массы сплава величина $x$ должна быть минимально возможной. По смыслу задачи величины $x$ и $y$ должны принимать неотрицательные значения, удовлетворяющие условиям $$ \left\{\begin{array}{l} 0 \leqslant x \leqslant 100,\\ 0 \leqslant y \leqslant 500,\\ \end{array} \right. $$ кроме этого из условия связи $x$ и $y$ и этих ограничений следует еще одно неравенство $225\leqslant y \leqslant 350$. Отсюда, выбирая величину $x$ минимально возможной $x=0$, получим $M = 1050$ кг. Ответ: $1050$ кг.