Экономические линейные задачи часть 1

Задачи на оптимальный выбор Семинар 1 В задачах на оптимальный выбор (оптимизацию) как правило требуется определить наибольшее или наименьшее значение некоторой величины, которое она может принимать в условиях ограничений, заданных в задаче. Большинство таких задач имеют экономическое содержание. Типичная задача на оптимизацию с экономическим содержанием может звучать примерно так: некоторая фирма может из одних и тех же ресурсов производить разные виды товаров, причем объем имеющихся у фирмы ресурсов ограничен; известно, какое количество каждого типа ресурсов требуется для производства единицы каждого вида товаров, а также цена единицы каждого товара, по которой его можно будет продать; требуется определить оптимальный объем производства, то есть сколько и какого товара нужно произвести, чтобы обеспечить максимальный доход фирмы в условиях заданных ограничений на имеющиеся ресурсы. Задачи на оптимизацию делятся на два больших класса — линейные задачи и нелинейные задачи. В линейных задачах количество призводимого товара прямо пропорционально количеству используемых ресурсов. В нелинейных задачах зависимость количества производимого товара нелинейно зависит от количества используемых ресурсов (например, о нелинейной зависимости говорит формулировка <<на изготовление $x$ единиц товара требуется $x^2$ часов>>). Экономические задачи Линейные задачи Первая задача имеет неэкономическое содержание, однако она является типичным примером задачи на линейную оптимизацию. Решение. Пусть в первом классе $x$ мальчиков, тогда во втором классе будет $23-x$ мальчиков. Количество девочек в первом классе равно $22-x$, а во втором, соответственно, $20-(22-x)=x-2$. Рассмотрим сумму процентов мальчиков в каждом классе: $$ S = \cfrac{x}{22}\cdot 100%+ \cfrac{23-x}{21}\cdot 100% = \left(\cfrac{x}{22} + \cfrac{23-x}{21}\right)\cdot 100% = $$ $$ =\cfrac{21x + 23 \cdot 22 - 22x}{22 \cdot 21} \cdot 100%=\cfrac{23 \cdot 22 - x}{22 \cdot 21}\cdot 100%. $$ Получаем, что сумма процентов зависит от количества мальчиков в первом классе линейно, при этом чтобы сумма процентов была наибольшей, $x$ должно быть как можно меньше. Найдем ограничения на $x$ из соображений, что количество как мальчиков, так и девочек в каждом классе — это неотрицательное целое число, не превышающее общего количества человек в этом классе. Тогда $$ \left\{\begin{array}{l} 0 \leqslant x \leqslant 22,\\ 0 \leqslant 23 - x \leqslant 21,\\ \end{array} \right. $$ откуда найдем $2 \leqslant x \leqslant 22$. Тогда, минимально возможное значение $x = 2$, то есть в первом классе должно быть 2 мальчика и 20 девочек, во втором классе 21 мальчик. Ответ: в первом классе 2 мальчика и 20 девочек, во втором классе 21 мальчик. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. Пусть в первом классе $x$ девочек, тогда во втором классе будет $25-x$ девочек. Количество мальчиков в первом классе равно $22-x$, а во втором, соответственно, $20-(22-x)=x-2$. Рассмотрим сумму процентов девочек в каждом классе: $$ S = \cfrac{x}{22}\cdot 100%+ \cfrac{25-x}{23}\cdot 100% = \left(\cfrac{x}{22} + \cfrac{25-x}{23}\right)\cdot 100% = $$ $$ =\cfrac{23x + 25 \cdot 22 - 22x}{22 \cdot 23} \cdot 100%=\cfrac{25 \cdot 22 + x}{22 \cdot 23}\cdot 100%. $$ Функция $S(x)$ является монотонно возрастающей. Значит, чтобы сумма процентов была наибольшей, $x$ должно быть как можно больше. Найдем ограничения на $x$ из соображений, что количество как мальчиков, так и девочек в каждом классе — это неотрицательное целое число, не превышающее общего количества человек в этом классе. Тогда $$ \left\{\begin{array}{l} 0 \leqslant x \leqslant 22,\\ 0 \leqslant 25 - x \leqslant 23,\\ \end{array} \right. $$ откуда найдем $2 \leqslant x \leqslant 22$. Тогда, максимально возможное значение $x = 22$, то есть в первом классе должно быть 22 девочки, а во втором классе 20 мальчиков и 3 девочки. Ответ: в первом классе 22 девочки, во втором классе 20 мальчиков и 3 девочки.