Кредиты. Дифференцированные платежи часть 3

Семинар 5 Рассмотрим задачи, в которых применяется модифицированная схема с дифференцированным платежом. Решение. По данным задачи составим таблицу, в которой будет три столбца: долг с процентами, выплаты и остаток долга. Обозначим месяц, в который планируется взять кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A=1200$ тыс. руб. Пусть $x=80$ тыс. руб. — сумма, на которую каждый месяц уменьшается остаток долга первые n месяцев, а $y=400$ тыс. руб. — остаток долга в $n$-м месяце. В нулевом месяце остаток долга равен исходной сумме долга $A$, в первом $A-x$, во втором $A-2x$, и так далее, в n-м $A-nx=y$. Отсюда $A=y+nx$, и все остатки долга мы теперь можем выразить через $x$ и $y$: остаток долга в нулевом месяце равен $A=y+nx$, в первом $A-x=y+(n-1)x$, во втором $A-2x=y+(n-2)x$, и так далее, в $n$-м $A-nx=y$. К концу $(n+1)$-го месяца долг будет полностью погашен, то есть остаток долга станет равен нулю. Так как проценты всегда начисляются на предыдущий остаток долга, то в первом месяце долг с процентами будет равен $y+nx+\cfrac{r}{100}\cdot (y+nx)$, во втором $y+(n-1)x+\cfrac{r}{100}\cdot (y+(n-1)x)$, и так далее, в $n$-м $y+x+\cfrac{r}{100}\cdot (y+x)$, а в $(n+1)$-м $y+\cfrac{r}{100}\cdot y$. Выплаты в каждый месяц представляют собой разность между долгом с процентами в этом месяце и отстатком долга, который должен остаться после выплаты. Таким образом, выплата в первом месяце равна $S_1=x+\cfrac{r}{100}\cdot (y+nx)$, во втором $S_2=x+\cfrac{r}{100}\cdot (y+(n-1)x)$, и так далее, в $n$-м $S_{n}=x+\cfrac{r}{100}\cdot (y+x)$ и в $(n+1)$-м $S_{(n+1)}=y+\cfrac{r}{100}\cdot y$. долг с % выплаты остаток долга 0-й $y+nx$ 1-й $y+nx+\cfrac{r}{100}\cdot (y+nx)$ $x+\cfrac{r}{100}\cdot (y+nx)$ $y+(n-1)x$ 2-й $y+(n-1)x+\cfrac{r}{100}\cdot (y+(n-1)x)$ $x+\cfrac{r}{100}\cdot (y+(n-1)x)$ $y+(n-2)x$ … … … … $n$-й $y+x+\cfrac{r}{100}\cdot (y+x)$ $x+\cfrac{r}{100}\cdot (y+x)$ $y$ $(n+1)$-й $y+\cfrac{r}{100}\cdot y$ $y+\cfrac{r}{100}\cdot y$ $0$ Подставляя в уравнение $A=y+nx$ известные по условию величины, получим $1200=400+80n$, откуда найдем $n=10$. Пусть $S$ — общая сумма выплат. Для вычисления общей суммы выплат сложим все выражения, указанные в столбце с выплатами, причем для удобства сложим сначала все первые слагаемые, а затем все вторые. Тогда (в тыс. руб.) $$S=S_1+S_2+\ldots+S_{n}+S_{(n+1)}=y+nx+\cfrac{r}{100}\cdot (n+1)y+\cfrac{r}{100}\cdot(x+2x+\ldots +nx)=$$ $$=A+\cfrac{r}{100}\cdot 11y+\cfrac{r}{100} \cfrac{x+10x}{2}\cdot 10=1200+88r=1288,$$ где использована формула суммы арифметической прогрессии. Отсюда получим, что $r=1%$. Ответ: $1$.