Кредиты. Дифференцированные платежи часть 2

Семинар 4 Рассмотрим примеры задач, в которых неизвестным яляется количество кредитных периодов (месяцев или лет), на которые берется кредит. Решение. По данным задачи составим таблицу, в которой будет три столбца: долг с процентами, выплаты и остаток долга. Обозначим месяц, в который планируется взять кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A$. Пусть $x$ — сумма, на которую каждый месяц уменьшается остаток долга. В нулевом месяце остаток долга равен исходной сумме долга $A$, в первом $A-x$, во втором $A-2x$, и так далее, в $(n-1)$-м $A-(n-1)x$, а в $n$-м $A-nx=0$, так как к концу $n$-го месяца долг будет выплачен полностью. Отсюда $A=nx$, и все остатки долга мы теперь можем выразить через величину $x$: остаток долга в нулевом месяце равен $A=nx$, в первом $A-x=(n-1)x$, во втором $A-2x=(n-2)x$, и так далее, в $(n-1)$-м $A-(n-1)x=x$, в $n$-м $A-nx=0$. Так как процентная ставка равна $3%$, а проценты всегда начисляются на предыдущий остаток долга, то в первом месяце долг с процентами будет равен $nx+0,03\cdot nx$, во втором $(n-1)x+0,03\cdot (n-1)x$, и так далее, в $(n-1)$-м $2x+0,03\cdot 2x$ и в $n$-м $x+0,03\cdot x$. Выплаты в каждый месяц представляют собой разность между долгом с процентами в этом месяце и отстатком долга, который должен остаться после выплаты. Таким образом, выплата в первом месяце равна $x+0,03\cdot nx$, во втором $x+0,03\cdot (n-1)x$, и так далее, в $(n-1)$-м $x+0,03\cdot 2x$ и в $n$-м $x+0,03\cdot x$. долг с % выплаты остаток долга 0-й $nx$ 1-й $nx+0,03\cdot nx$ $x+0,03\cdot nx$ $(n-1)x$ 2-й $(n-1)x+0,03\cdot (n-1)x$ $x+0,03\cdot (n-1)x$ $(n-2)x$ … … … … (n-1)-й $2x+0,03\cdot 2x$ $x+0,03\cdot 2x$ $x$ n-й $x+0,03\cdot x$ $x+0,03\cdot x$ $0$ Пусть $S$ — общая сумма выплат. Для вычисления общей суммы выплат сложим все выражения, указанные в столбце с выплатами, причем для удобства сложим сначала все первые слагаемые, а затем все вторые. Тогда $$S=S_1+S_2+\ldots+S_{n-1}+S_{n}=nx+0,03\cdot(x+2x+\ldots +(n-1)x+nx)=$$ $$=A+0,03\cdot x\cdot \cfrac{1+n}{2}\cdot n=A+0,03\cdot A\cdot\cfrac{1+n}{2}=A\left(1+0,03 \cdot \cfrac{1+n}{2}\right)=1,3A,$$ так как по условию общая сумма выплат на $30%$ больше суммы, взятой в кредит. Здесь также учтено, что $A=nx$, и использована формула суммы арифметической прогрессии. Значит, $0,03 \cdot \cfrac{1+n}{2}=0,3$, откуда $n=19$. Ответ: $19$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. По данным задачи составим таблицу, в которой будет три столбца: долг с процентами, выплаты и остаток долга. Обозначим месяц, в который планируется взять кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A$. Пусть $x$ — сумма, на которую каждый месяц уменьшается остаток долга. В нулевом месяце остаток долга равен исходной сумме долга $A$, в первом $A-x$, во втором $A-2x$, и так далее, в $(n-1)$-м $A-(n-1)x$, а в $n$-м $A-nx=0$, так как к концу $n$-го месяца долг будет выплачен полностью. Отсюда $A=nx$, и все остатки долга мы теперь можем выразить через величину $x$: остаток долга в нулевом месяце равен $A=nx$, в первом $A-x=(n-1)x$, во втором $A-2x=(n-2)x$, и так далее, в $(n-1)$-м $A-(n-1)x=x$, в $n$-м $A-nx=0$. Так как процентная ставка равна $3%$, а проценты всегда начисляются на предыдущий остаток долга, то в первом месяце долг с процентами будет равен $nx+0,05\cdot nx$, во втором $(n-1)x+0,05\cdot (n-1)x$, и так далее, в $(n-1)$-м $2x+0,05\cdot 2x$ и в $n$-м $x+0,05\cdot x$. Выплаты в каждый месяц представляют собой разность между долгом с процентами в этом месяце и отстатком долга, который должен остаться после выплаты. Таким образом, выплата в первом месяце равна $x+0,05\cdot nx$, во втором $x+0,05\cdot (n-1)x$, и так далее, в $(n-1)$-м $x+0,05\cdot 2x$ и в $n$-м $x+0,05\cdot x$. долг с % выплаты остаток долга 0-й $nx$ 1-й $nx+0,05\cdot nx$ $x+0,05\cdot nx$ $(n-1)x$ 2-й $(n-1)x+0,05\cdot (n-1)x$ $x+0,05\cdot (n-1)x$ $(n-2)x$ … … … … (n-1)-й $2x+0,05\cdot 2x$ $x+0,05\cdot 2x$ $x$ n-й $x+0,05\cdot x$ $x+0,05\cdot x$ $0$ Пусть $S$ — общая сумма выплат. Для вычисления общей суммы выплат сложим все выражения, указанные в столбце с выплатами, причем для удобства сложим сначала все первые слагаемые, а затем все вторые. Тогда $$S=S_1+S_2+\ldots+S_{n-1}+S_{n}=nx+0,05\cdot(x+2x+\ldots +(n-1)x+nx)=$$ $$=A+0,05\cdot x\cdot \cfrac{1+n}{2}\cdot n=A+0,05\cdot A\cdot\cfrac{1+n}{2}=A\left(1+0,05 \cdot \cfrac{1+n}{2}\right)=1,25A,$$ так как по условию общая сумма выплат на $25%$ больше суммы, взятой в кредит. Здесь также учтено, что $A=nx$, и использована формула суммы арифметической прогрессии. Значит, $0,05 \cdot \cfrac{1+n}{2}=0,25$, откуда $n=9$. Ответ: $9$. Решение. По данным задачи составим таблицу, в которой будет три столбца: долг с процентами, выплаты и остаток долга. Обозначим год, в который планируется взять кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A$. Пусть $x$ — сумма, на которую каждый год уменьшается остаток долга. В нулевом году остаток долга равен исходной сумме долга $A$, в первом $A-x$, во втором $A...