Кредиты. Дифференцированные платежи часть 1

Семинар 3 Задачи на кредиты В задачах на кредиты банк, как правило, выдает кредит некоторому лицу под определенный процент годовых (или месячный процент) на несколько лет (месяцев), причем выплата кредита происходит не единовременно, а ежегодно (ежемесячно) в течение всего срока кредитования. Проценты при этом всегда начисляются не на исходную сумму долга, а на текущий остаток долга, который имеет место перед началом очередного кредитного периода. Существуют две основные схемы выплаты кредитов: схема с дифференцированными платежами и схема с аннуитетными платежами. В схеме с дифференцированными платежами все выплаты различны, они уменьшаются и подбираются таким образом, чтобы остаток основного долга уменьшался равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый кредитный период. В схеме с аннуитетными платежами выплата кредита осуществляется равными платежами за некоторое количество кредитных приодов (лет или месяцев), при этом долг уменьшается неравномерно (из-за начисления процентов). Дифференцированные платежи Решение. На примере этой задачи рассмотрим общую схему решения задач на кредиты и, в частности, на дифференцированные платежи. По данным задачи удобно будет составить таблицу. Поскольку каждый кредитный период (каждый месяц) сначала на остаток долга начисляются проценты, затем выплачивается часть долга, а затем фиксируется остаток долга (на который начисятся проценты в следующий месяц, в таблице удобно сделать три столбца — долг с процентами, выплаты и остаток долга. Обозначим месяц, в который Анна Ивановна взяла кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A$. Пусть $x$ — сумма, на которую каждый месяц уменьшается остаток долга. В нулевом месяце остаток долга равен исходной сумме долга $A$, в первом $A-x$, во втором $A-2x$, в третьем $A-3x$, в четвертом $A-4x=0$, так как к концу четвертого месяца долг будет выплачен полностью. Отсюда $A=4x$, и все остатки долга мы теперь можем выразить через величину $x$: остаток долга в нулевом месяце равен $A=4x$, в первом $A-x=3x$, во втором $A-2x=2x$, в третьем $A-3x=x$, в четвертом $A-4x=0$. Отметим, что последовательность остатков долга образует убывающую арифметическую прогрессию. Заполним теперь первый столбец таблицы, в котором будут указаны величины долга с начисленными процентами в каждом месяце. Так как процентная ставка равна $r=12%$, а проценты всегда начисляются на предыдущий остаток долга, то в первом месяце долг с процентами будет равен $4x+0,12\cdot 4x$, во втором $3x+0,12\cdot 3x$, в третьем $2x+0,12\cdot 2x$ и в четвертом $x+0,12\cdot x$. Выплаты в каждый месяц представляют собой разность между долгом с процентами в этом месяце и отстатком долга, который должен остаться после выплаты. Таким образом, выплата в первом месяце равна $S_1=4x+0,12\cdot 4x-3x=x+0,12\cdot 4x$, во втором $S_2=3x+0,12\cdot 3x-2x=x+0,12\cdot 3x$, в третьем $S_3=2x+0,12\cdot 2x-x=x+0,12\cdot 2x$ и в четвертом $S_4=x+0,12\cdot x-0=x+0,12\cdot x$. Отметим, что в каждом месяце выплата состоит из двух частей: суммы $x$, на которую каждый месяц уменьшается остаток долга, и начисленных за данный месяц процентов. Последовательность выплат, как и последовательность остатков долга, также образует убывающую арифметическую прогрессию. долг с % выплаты остаток долга 0-й $4x$ 1-й $4x+0,12\cdot 4x$ $x+0,12\cdot 4x$ $3x$ 2-й $3x+0,12\cdot 3x$ $x+0,12\cdot 3x$ $2x$ 3-й $2x+0,12\cdot 2x$ $x+0,12\cdot 2x$ $x$ 4-й $x+0,12\cdot x$ $x+0,12\cdot x$ $0$ Пусть $S$ — общая сумма выплат. Для вычисления общей суммы выплат сложим все выражения, указанные в столбце с выплатами, причем для удобства сложим сначала все первые слагаемые, а затем все вторые. Тогда $$S=S_1+S_2+S_3+S_4=4x+0,12\cdot(4x+3x+2x+x)=$$ $$=A+0,12\cdot 10x=A+1,2x=A+0,3A=1,3A,$$ где учтено, что $A=4x$ или $x=\cfrac{1}{4}A$. По условию $S=13\,000$ руб., тогда $1,3A=13\,000$, откуда $A=10\,000$ руб. Ответ: $10\,000$ рублей.