Вклады часть 2

Семинар 2 Решение. Для удобства обозначим исходную сумму, которую Владимир поместил в банк, за $S$ (по условию, $S=3600$ тысяч рублей). Пусть сумма, которую он дополнительно вносил на счет в конце каждого из первых двух лет хранения, равна $x$ тысяч рублей. Рассмотрим состояние счета Владимира. Через 1 год после начисления процентов и внесения $x$ тысяч руб. на счете было $S\cdot 1,1+x$ тысяч рублей. Через 2 года после начисления процентов и внесения еще $x$ тысяч руб. на счете Владимира было $(S\cdot 1,1+x)\cdot 1,1+x$ тысяч рублей. Через 3 года на счете было $( (S\cdot 1,1+x)\cdot 1,1+x )\cdot 1,1$ тысяч рублей. Из условия, что через три года размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на $48,5%$, получим уравнение $$( (S\cdot 1,1+x)\cdot 1,1+x )\cdot 1,1=1,485S.$$ Решая полученное уравнение относительно $x$, найдем $x = \cfrac{1}{15}S = 240$ тысяч рублей. Ответ: $240$ тысяч рублей. Получим общую формулу для расчета итоговой суммы вклада при периодическом его пополнении на фиксированную сумму. Пусть банк помещен вклад в размере $A_0$ руб. под $p\cdot 100=r%$ годовых, где $p>0$. Введем также переменную $k=1+\cfrac{r}{100}=1+p$. В конце каждого года хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносит на счет одну и ту же фиксированную сумму $x$. Найдем, какой будет велчина вклада к концу $n$-ого года. Обозначим $A_k$ сумму на счете после начисления процентов и добавления фиксированной суммы в конце $k$-ого года. Тогда: $$ \begin{array}{l} A_1 = A_0(1 + p) + x = A_0 \cdot k + x, \\ A_2 = A_1(1 + p) + x = A_0 \cdot k^2 + x(1 + k), \\ A_3 = A_2(1 + p) + x = A_0 \cdot k^3 + x(1 + k + k^2), \\ \dotfill\\ A_n = A_0 \cdot k^n + x \left(1+k+k^2+\ldots +k^{n-1} \right). \end{array} $$ Выражение в скобках в последней строке представляет собой сумму геометрической прогрессии. Вычисляя ее, получим $$ A_n = A_0 \cdot k^n + x \frac{1-k^n}{1-k}=A_0 \cdot (1+p)^n + x \frac{(1+p)^n-1}{p}. $$ Это и есть общая формула для расчета суммы вклада. Решение. Рассмотрим сначала первый счет по случаю рождения сына. Для определения суммы вклада через $n$ лет воспользуемся приведенными выше рассуждениями. В данном случае $A_0 = x = 1000$ рублей, а $k=1+\cfrac{20}{100}=1,2$. Тогда через $n$ лет на первом счете будет сумма $$ A_n = 1000 \cdot (1,2)^n + 1000 \cdot \left(1+1,2+(1,2)^2+\ldots +(1,2)^{n-1} \right) =$$ $$ = 1000 \cdot \left(1+1,2+(1,2)^2+\ldots +(1,2)^{n-1}+ (1,2)^n\right)=. $$ $$ = 1000 \cdot \frac{1-(1,2)^{n+1}}{1-1,2}=5000 \cdot \left((1,2)^{n+1}-1 \right). $$ Здесь была использована формула суммы геометрической прогрессии. Для второго счета по случаю рождения дочери $B_0 = y=2200$ рублей, а коэффициент $k_2=1+\cfrac{44}{100}=1,44=(1,2)^2$. Тогда через $m$ лет на втором счете будет сумма $$ B_m = 2200 \cdot (1,44)^m + 2200 \cdot \left(1+1,44+(1,44)^2+\ldots +(1,44)^{m-1} \right) =$$ $$ = 2200 \cdot \left(1+(1,2)^2+\ldots +(1,2)^{2(m-1)}+ (1,2)^{2m}\right)=. $$ $$ = 2200 \cdot \frac{1-(1,2)^{2m+2}}{1-1,44}=5000 \cdot \left((1,2)^{2m+2}-1 \right). $$ Суммы на этих двух вкладах должны сравняться, поэтому $A_n=B_m$. Сын родился на 6 лет раньше, поэтому срок действия первого вклада на 6 лет больше и составляет $n=m+6$ лет. С учетом этого, из равенства $A_n=B_m$ следует равенство $(1,2)^{m+6+1}=(1,2)^{2m+2}$, откуда, приравнивая показатели, найдем $m=5$. Следовательно, суммы вкладов гражданина Петрова сравняются в $2014+5=2019$ году. Ответ: в $2019$ году.