Вклады часть 1

Банковские задачи Семинар 1 Арифметическая и геометрическая прогрессии При решении банковских задач очень часто используются арифметическая и геометрическая прогрессии. Напомним их определения и основные свойства. Арифметическая прогрессия Арифметической прогрессией называется числовая последовательность $a_n$, каждый член которой (начиная со второго) отличается от предыдущего на одну и ту же величину, то есть на одну и ту же величину больше или меньше предыдущего. Имеет место равенство $$ a_{n+1} = a_n + d, ~n = 1,2,\dots, $$ где $d$ называется разностью арифметической прогрессии. Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно задать ее первый член $a_1$ и разность $d$. Справедлива формула общего члена арифметической прогрессии $$a_n = a_1 + d(n-1),$$ а также формулы суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $$S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n.$$ Геометрическая прогрессия Геометрической прогрессией называется числовая последовательность $b_n$, каждый член которой (начиная со второго) в одно и тоже число раз больше предыдущего, то есть каждый член геометрической прогрессии (начиная со второго) равен предыдущему, умноженному на некоторое фиксированное число: $$ b_{n+1} = b_n \cdot q, ~n = 1,2, \dots, ~ q \ne 0, $$ где $q$ называется знаменателем геометрической прогрессии. Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно задать ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$. Справедлива формула общего члена геометрической прогрессии $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1},$$ а также формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $$S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n = b_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}.$$ Выделяют также бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, в которой знаменатель по модулю меньше единицы: $|q| Задачи на вклады Простые и сложные проценты Различают два типа банковских процентов — простой и сложный. Например, при открытии вклада на некоторую сумму под некоторый процент годовых, в случае простого процента на счет каждый раз добавляется одна и та же фиксированная сумма, которая рассчитывается исходя из первоначально внесенной. То есть, если вкладчик первоначально положил на счет сумму $S$, а банк выплачивает $a%$ годовых (процент простой), то каждый год сумма на счете будет увеличиваться на величину $\cfrac{a}{100}S$ (1% — это одна сотая доля), и через $n$ лет сумма на счете $S_n = S + \cfrac{a}{100}S\cdot n$, то есть сумма на счете растет с течением времени линейно, со скоростью арифметической прогрессии, первый член которой равен $S$, а разность равна $\cfrac{a}{100}S$. В случае сложного процента, на счет в конце года каждый раз добавляется сумма, которая рассчитывается исходя из имевшейся на начало данного года. То есть, если вкладчик первоначально положил на счет сумму $S$, и банк выплачивает $a%$ годовых (процент сложный), то в первый год сумма на счете увеличится на $a%$ и составит $S_1 = S \left(1 + \cfrac{a}{100}\right) $. Во второй год процент начислится уже на сумму $S_1$, а значит через два года сумма на счете составит $$S_2 = S_1 \left(1 + \cfrac{a}{100}\right)=S \left(1 + \cfrac{a}{100}\right)^2$$ и так далее. Через $n$ лет сумма на счете составит $$ S_n = S \left(1 + \cfrac{a}{100}\right)^n, $$ то есть сумма на счете растет с течением времени экспоненциально, со скоростью геометрической прогрессии, первый член которой равен $S$, а знаменатель равен $\left(1 +\cfrac{a}{100}\right)$. Можно показать, что сколь угодно малый (но положительный) сложный процент с течением времени (иногда достаточно длительного) всегда обгоняет сколь угодно большой простой процент.