Графические методы решения Часть 3

Пример 2.54. Условие Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$f(x)=|a+2|\sqrt[3]{x}$$ имеет 4 решения, где $f(x)$ - четная периодическая функция с периодом $T=\frac{16}{3}$, определенная на всей числовой прямой, причем $f(x)=ax^2$, если $$0\leqslant x \leqslant \frac{8}{3} .$$ Решение Сначала рассмотрим $a=0$. В этом случае существует только одно решение $x=0$, что не удовлетворяет условиям задачи. Рассмотрим $a>0$. Построим график функции $y_1=f(x)$, где на заданном отрезке $\left[0;\frac{8}{3}\right]$ ее график совпадает с параболой $y=ax^2$, а вне него график получен периодическим продолжением с учетом четности (см. рис. 13). График функции $y_2=\sqrt[3]{x}$ может иметь точки пересечения с построенным графиком $y_1=f(x)$ только в области $x>0$, так как $y\geqslant 0$ только при $x\geqslant 0$ (см. рис. 13). Из рисунка 13 видно, что 4 точки пересечения графики будут иметь, если они пересекаются в точке $x=8$. Учитывая, что значение периодической функции $f(x)$ в точке $x=8$ совпадает со значением $ax^2$ в точке $\frac{8}{3}$, получаем уравнение для нахождения $a>0$: $$a\left(\frac{8}{3}\right)^2=|a+2|\sqrt[3]{8}\Longleftrightarrow a\cdot \frac{64}{9}=(a+2)\cdot 2\Longleftrightarrow a=\frac{18}{23}.$$ Теперь аналогично рассмотрим $a Если $-2\leqslant a Ответ $\left\{-\frac{18}{41}; \frac{18}{23}\right\}$. Задача 2.55. Условие Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$f(x)=|2a+5|x$$ имеет 6 решений, где $f(x)$ - четная периодическая функция с периодом $T=2$, определенная на всей числовой прямой, причем $$f(x)=ax^2,$$ если $0\leqslant x \leqslant 1$. Ответ $\left\{ - \frac{25}{11}; - \frac{25}{9} \right\}$.