Графические методы решения Часть 2

Более сложные уравнения и неравенства с модулем. Графические методы решения Пример 2.44. Условие Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$ \left| x^2 - 16|x| \right| = a(x - 9) $$ имеет ровно три различных корня. Решение Построим графики функции $y_1(x)=\left| x^2 - 16|x| \right| $ и $y_2(x)=a(x - 9) $ (рис. 8), а затем найдем, при каких значениях параметра $a$ у графиков этих функций ровно три точки пересечения. График функции $y_2(x)$ представляет собой прямую, проходящую через точку $(9;0)$. Ровно три решения можно получить либо при $a=0$, то есть если график $y_2(x)$ совпадает с осью $Ox$, либо при том расположении прямой, которое показано на рис. 8. В последнем случае прямая должна касаться графика функции $y_1(x)$. Уравнение той ветви графика $y_1(x)$, которой касается прямая, есть $y=-16x-x^2$. Условием касания является равенство нулю дискриминанта квадратного уравнения $-16x-x^2=a(x - 9)$: $$ D=(16+a)^2+36a=0\Longleftrightarrow a=-4 или a=-64.$$ Точка касания должна принадлежать интервалу $x \in(-16;0)$. Найдем координаты точек касания. 1. При $ a = -4$ квадратное уравнение принимает вид $$ x^2 + 12 x + 36 = 0 \Longleftrightarrow x = -6. $$ Поскольку $-6 \in (-16;0)$, данное значение $a$ подходит. 2. При $ a = -64$ имеем уравнение $$ x^2 - 48 x + 576 = 0 \Longleftrightarrow x = 24. $$ Данное значение $a$ не подходит, поскольку $24 \not \in (-16;0)$. Ответ $0$, $ - 4$. Задача 2.45. Условие Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$ \left| x^2 - 5|x| \right| = a(x +4) $$ имеет ровно три различных корня. Ответ $0$, $ 1$.