Графические методы решения Часть 1

Пример 2.34. Условие Найдите все такие $a$, что при любом $b$ уравнение $$ax + b = |x|$$ имеет решение. Решение Построим графики функций, стоящих в правой и левой частях уравнения: функция, стоящая в правой части, не зависит от параметра. Функция в левой части зависит от двух параметров: параметр $a$ отвечает за наклон прямой относительно оси $Ox$, параметр $b$ - за точку пересечения с осью $Oy$. Очевидно, что при неотрицательных $b$ графики обязательно пересекутся. Рассмотрим отрицательные $b$ (как раз этот случай изображен на рисунке 2). Чтобы прямая пересеклась с правой ветвью графика функции $y = |x|$, угол наклона прямой должен быть больше $45^\circ$. В этом случае прямые пересекутся при любом сколь угодно малом значении $b$. То, что угол больше $45^\circ$, означает, что угловой коэффициент прямой, то есть $a$, больше единицы. Аналогично, чтобы прямая $y=ax+b$, $b Ответ $a\in (-\infty;-1)\cup (1;+\infty)$. Пример 2.36. Условие При каких значениях параметра $a$ уравнение $$ |x +3|+2 |x +1 |= a(x-5) $$ имеет ровно одно решение? Решение Построим график функции $y_1(x)=|x +3|+2 |x +1 |$. Для этого раскроем модули и получим, что при $x\leqslant -3$ $y_1(x)=-3x-5$; при $-3 \leqslant x\leqslant -1$ $y_1(x)=-x+1$; при $x\geqslant -1$ $y_1(x)=3x+5$. Запишем функцию $y_1(x)$ в более удобном виде и построим ее график (см. рис. 3): $$ y_1(x) = \left\{ \begin{array}{l} -3x - 5, ~x \leqslant - 3;\\ -x + 1, ~-3 График функции $y_2(x)=a(x-5)$ представляет собой прямую, проходящую через точку с координатами $(5;0)$. Для того, чтобы уравнение имело одно решение, нужно чтобы графики функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$ пересекались, но только в одной точке. Это возможно, во-первых, если $y_2(x)$ проходит через точку с координатами $(-1;2)$. Тогда $2=a(-1-5)$, значит, $a=-\frac{1}{3}$. Во-вторых, решение будет единственным, если пересекает только одну из прямых линий, составляющих график функции $y_1(x)$. А это случай реализуется, если тангенс угла наклона прямой $y_2(x)$, равный $a$, где $a \leqslant - 3$ или $a>3$ (заштрихованная область на рис. 3). Ответ $(-\infty; -3]\cup \left\{-\frac{1}{3}\right\}\cup (3;+\infty)$. Задача 2.37. Условие При каких значениях параметра $a$ уравнение $$ 3|x +1|+ |x -2 |= a(x+5) $$ имеет ровно одно решение? Ответ $(-\infty; -4)\cup \left\{\frac{3}{4}\right\}\cup [4;+\infty)$.