Уравнения и неравенства с модулями и параметрами Часть 3

Задача 2.21. Условие Решите неравенство $$|x - a| + |x - 2| + a - 4 \leqslant 0,$$ где $a$ - параметр. Решение $$ 1. \quad \left\{ \begin{aligned} &x-a \geq 0 \\ &x-2 \geq 0 \\ &x-a+x-2+a-4 \leq 0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &x \geq a \\ &x \geq 2 \\ &x \leq 3 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &2 \leq x \leq 3 \\ &x \geq a \end{aligned} \right. $$ Рассмотрим два случая: 1) $2 3$ решений быть не может. $$ \begin{aligned} 2. \quad&\left\{ \begin{aligned} &x-a \geq 0 \\ &x-2 \leq 0 \\ &x-a-x+2+a-4 \leq 0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &x \geq a \\ &x \leq 2 \\ &-2 \leq 0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \fbox{$a \leq 2; \; a \leq x \leq 2$} \\ 3. \quad&\left\{ \begin{aligned} &x-a \leq 0 \\ &x-2 \geq 0 \\ &-x+a+x-2+a-4 \leq 0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &2 \leq x \leq a \\ &a \leq 3 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \fbox{$2 \leq a \leq 3; \; 2 \leq x \leq a$} \\ 4. \quad&\left\{ \begin{aligned} &x-a \leq 0 \\ &x-2 \leq 0 \\ &-x+a-x+2+a-4 \leq 0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &x \leq a \\ &x \leq 2 \\ &x \geq a-1 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &a-1 \leq x \leq a \\ &x \leq 2 \end{aligned} \right. \end{aligned} $$ Здесь тоже следует рассмотреть два случая: 1) $a \leq 2$; 2) $2 3$ решений нет. Критическими точками для $a$ будут $2$ и $3$: $a \in (-\infty; \; 2]; \; x \in [a-1; \; 3]$; $a \in (2; \; 3]; \; x \in [a-1; \; 3]$; $a \in (3; \; +\infty]; \; нет решений$; Поскольку при $a \in (-\infty; \; 2]$ и $a \in (2; \; 3]$ одинаковые ответы, эти промежутки можно объединить. Ответ если $ a \in (-\infty; 3] $, то $x\in [a - 1 ;3]$; если $a \in ( 3;+\infty)$, то нет решений. Пример 2.22. Условие Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$ x^4 + a^2 = |x - a | + |x + a| $$ имеет единственное решение. Решение Пусть $y_1(x)= x^4 + a^2$, а $y_2(x)=|x - a | + |x + a|$. Обе функции являются четными, что можно проверить по определению: $f(x)=f(-x)$. Отсюда следует, что единственным решением уравнения $y_1(x)=y_2(x)$ может быть только $x=0$. Найдем, при каких $a$ $x=0$ будет решением: $$ 0^4 + a^2 = |0- a | + |0 + a|\Longleftrightarrow a^2=2|a|\Longleftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = 0, \\ a = \pm 2. \\ \end{array} \right. $$ Теперь необходимо проверить, нет ли при этих значениях параметра других решений кроме $x=0$. При $a=0$ получаем $x^4=2|x|$. Решениями этого уравнения кроме $x=0$ являются $x=\pm \sqrt[3] {2}$. Следовательно, значение параметра $a=0$ не удовлетворяет условию задачи. При $a=2$ получаем $x^4+4=|x-2|+|x+2|$. Для решения уравнения раскроем модули: 1. $$ \left\{ \begin{array}{l} x\leqslant - 2, \\ x^4+4=-x+2-x-2, \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\leqslant - 2, \\ x^4+2x+4=0. \end{array}\right. $$ У этой системы нет решений, поскольку $$ x^4 + 2x + 4 = x^2 + 2x + 1 + x^4 - x^2 + 3 = (x+ 1)^2 + \left(x^2 - \frac{1}{2} \right)^2 + 2 \frac{3}{4} > 0. $$ 2. $$ \left\{ \begin{array}{l} -2 \leqslant x\leqslant 2, \\ x^4+4=-x+2+x+2, \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2 \leqslant x\leqslant 2, \\ x^4=0. \end{array}\right. $$ У этой системы единственное решение $x=0$. 3. $$ \left\{ \begin{array}{l} x\geqslant 2, \\ x^4+4=x-2+x+2, \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\geqslant 2, \\ x^4-2x+4=0. \end{array}\right. $$ У этой системы также нет решений. В итоге можно сказать, что при $a=2$ решение единственнно. В силу того, что при замене в исходном уравнении $a$ на $-a$ вид уравнения не меняется, можно не проводя вычислений сказать, что $a=-2$ даст тот же результат, что и $a=2$. Ответ $a=\pm 2$.