Уравнения и неравенства с модулями и параметрами Часть 2

Пример 2.14. Условие При каких значениях параметра $a$ все решения уравнения $$ 2|x - a| + a - 4 + x = 0 $$ удовлетворяют неравенству $ 0 \leqslant x \leqslant 4 $? Решение У этой задачи возможны два способа решения. Первый состоит в том, чтобы при всех значениях параметра $a$ найти решения уравнения, а затем выбрать только те значения параметра, при котором найденные корни удовлетворяют дополнительному условию. Во втором способе дополнительные условия накладываются в процессе построения решения. Воспользуемся вторым способом. 1). $$\left\{\begin{array}{l} x \geqslant a, \\ 2x -2a+a-4+x=0,\\ 0\leqslant x\leqslant 4, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \geqslant a, \\ x=\frac{a+4}{3},\\ 0\leqslant x\leqslant 4, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=\frac{a+4}{3},\\ a+4\geqslant 3a,\\ 0\leqslant \frac{a+4}{3}\leqslant 4, \end{array} \right.\Longleftrightarrow $$ $$ \left\{\begin{array}{l} x=\frac{a+4}{3},\\ a\leqslant 2,\\ -4\leqslant a\leqslant 8, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=\frac{a+4}{3},\\ -4\leqslant a\leqslant 2. \end{array} \right. $$ 2). $$\left\{\begin{array}{l} x \leqslant a, \\ 2a -2x+a-4+x=0,\\ 0\leqslant x\leqslant 4, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \leqslant a, \\ x=3a-4,\\ 0\leqslant x\leqslant 4, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=3a-4,\\ 3a-4 \leqslant a,\\ 0\leqslant 3a-4\leqslant 4, \end{array} \right.\Longleftrightarrow $$ $$ \left\{\begin{array}{l} x=3a-4,\\ a\leqslant 2,\\ \frac{4}{3}\leqslant a\leqslant \frac{8}{3}, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=3a-4,\\ \frac{4}{3}\leqslant a\leqslant 2. \end{array} \right. $$ Случай 1) дает нам значения $a$, при которых первое решение удовлетворяет заданному условию (а второе может быть каким угодно), случай 2) - когда второе решение удовлетворяет условию (первое может быть каким угодно). Чтобы найти, при каких $a$ оба решения удовлетворяют неравенству, необходимо взять пересечение указанных множеств. (Вариант, когда существует только одно решение уравнения, реализуется в данной задаче только при $x = a = 2$. Поскольку при снятии модуля все неравенства мы писали нестрогими, это решение попало и в первый, и во второй случай, следовательно, пересечение множеств не приведет к его потере.) $$ \left\{\begin{array}{l} 4/3 \leqslant a \leqslant 2, \\ - 4 \leqslant a \leqslant 2, \end{array} \right. \Longleftrightarrow~~ 4/3 \leqslant a \leqslant 2. $$ Ответ $\left[ \frac{4}{3}; 2 \right] $. Задача 2.15. Условие При каких значениях параметра $a$ все решения уравнения $$ 4|x - 3a| + 6a - 24 + x = 0 $$ удовлетворяют неравенству $ 6 \leqslant x \leqslant 12 $? Решение Раскроем модуль по определению, тогда нужно рассмотреть два случая. 1).$$ \left\{\begin{array}{l} x-3a\geqslant 0, \\ 4x-12a+6a-24+x=0,\\ 6 \leqslant x \leqslant 12, \end{array} \right. \Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} x\geqslant 3a, \\ x=\frac{24+6a}{5},\\ 6 \leqslant x \leqslant 12. \end{array} \right. $$ Отсюда найдем условия для $a$: $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{24+6a}{5}\geqslant 3a, \\ \\ 6 \leqslant \frac{24+6a}{5} \leqslant 12, \end{array} \right.\Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} a\leqslant \frac{8}{3}, \\ 5 \leqslant 4+a \leqslant 10, \end{array} \right.\Longleftrightarrow~~ $$ $$ \left\{\begin{array}{l} a\leqslant \frac{8}{3}, \\ 1 \leqslant a \leqslant 6, \end{array} \right.\Longleftrightarrow~~ 1 \leqslant a \leqslant \frac{8}{3}. $$ Теперь рассмотрим второй случай. 2). $$ \left\{\begin{array}{l} x-3a\leqslant 0, \\ -4x+12a+6a-24+x=0,\\ 6 \leqslant x \leqslant 12, \end{array} \right. \Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} x\leqslant 3a, \\ x=6a-8,\\ 6 \leqslant x \leqslant 12. \end{array} \right. $$ Отсюда условия для $a$: $$ \left\{\begin{array}{l} 6a-8\leqslant 3a, \\ 6 \leqslant 6a-8 \leqslant 12, \end{array} \right.\Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} a\leqslant \frac{8}{3}, \\ \frac{7}{3} \leqslant a \leqslant \frac{10}{3}, \end{array} \right.\Longleftrightarrow~~ \frac{7}{3} \leqslant a \leqslant \frac{8}{3}. $$ В первом пункте было найдено, при каких $a$ условию $6 \leqslant x \leqslant 12$ удовлетворяет первое решение $x=\frac{24+6a}{5}$, полученное для области $x-3a\geqslant 0$. Во втором пункте были найдены ограничения для второго решения $x=6a-8$ в области $x-3a\leqslant 0$. Для того, чтобы оба решения удовлетворяли условию одновременно, нужно чтобы выполнялись оба полученных неравенства для $a$. Другими словами, надо найти пересечение этих областей. Обратим внимание, что в данной задаче очень важно оба ограничения при раскрытии модуля записывать в виде нестрогих неравенств. В случае, когда одно из неравенств записано строгим, при нахождении пересечения произошла бы потеря решения $x = 3a$. Ответ $ [7/3; 8/3]$. Когда в уравнении присутствуют несколько модулей, способ решения зависит от того, входит ли параметр в выражения под модулем. Как правило...