Уравнения и неравенства с модулями и параметрами Часть 1

Уравнения и неравенства с модулями и параметрами Алгебраические методы решения задач Методы решения уравнений и неравенств с модулями и параметрами остаются теми же, что и с модулями без параметров, причем без раскрытия модуля, как правило, не обойтись. Рассмотрим простейший пример. Пример 2.3. Условие Решите уравнение $$|x - 3| + a^2 |x| = 0.$$ Решение В данном примере нет необходимости снимать модули с помощью метода интервалов или какого-либо другого. Поскольку оба слагаемых в левой части неотрицательны, то равенство нулю возможно только тогда, когда они одновременно обращаются в ноль. Поэтому $$ |x - 3| + a^2 |x| = 0~~ \Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} x = 3,\\ \left[\begin{array}{l} a = 0, \\ x = 0, \end{array} \right. \end{array} \right. \Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} a = 0, \\ x = 3. \end{array} \right. $$ Ответ если $a = 0$, то $x = 3$; если $a \ne 0$, то нет решений. Решим теперь более сложную задачу. Пример 2.5. Условие Решите неравенство $$|x - 2| Решение Так как модуль всегда число неотрицательное и неравенство строгое, то При $a > 0$ удобно использовать следующую схему раскрытия модуля: $$ |x - 2| 0, \\ - a 0, \\ 2 - a Ответ если $a \leqslant 0$, то нет решений; если $a > 0$, то $2 - a Задача 2.6. Условие Решите неравенство $$|2x +3| > a.$$ Решение Отметим, что при $a \in (-\infty; \; 0)$ неравенство выполнено при всех $x$. $$ | 2x+3 | > a \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{aligned} &2x+3 > a \\ &2x + 3 \frac{a-3}{2} \\ &x Ответ если $a\in(-\infty;0)$, то $x\in \mathbb{R}$; если $a \in[ 0;+\infty)$, то $x \in \left(\frac{a-3}{2};+\infty\right)$ или $x \in \left(-\infty;\frac{-a-3}{2}\right)$. Пример 2.10. Условие Решите уравнение $$x^2 + 3x = |a(x + 3)|.$$ Решение Учитывая, что модуль произведения равен произведению модулей, перепишем исходное уравнение в виде $$ x(x + 3) = |a| \cdot |x + 3|. $$ Далее следует рассмотреть три возможных случая: $x + 3 = 0$. Уравнение выполнено при любом значении $a$, так как правая и левая части одновременно обращаются в ноль. Таким образом, $x + 3 3, \\ x = - |a|. \end{array} \right. $$ Таким образом, $ x + 3 > 0$. При этом получаем $$ \left\{\begin{array}{l} x + 3 > 0, \\ x = |a|, \end{array} \right. \Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} |a| + 3 > 0, \\ x = |a|, \end{array} \right. \Longleftrightarrow~~ x = |a|. $$ Отсюда Поскольку в первом и третьем случаях ограничений на $a$ не было, то при $a 3$ в ответ записываем все три решения $x = - 3$, $x = \pm a$ (объясните самостоятельно, почему знак модуля может быть опущен); при $ - 3 \leqslant a \leqslant 3$ $x = |a|$, $x = - 3$, то есть в ответ попадают только первое и третье решение. Ответ если $a \in (-\infty;- 3) \cup ( 3;+\infty)$, то $x = - 3$, $x = \pm a$; если $a \in [ - 3 ; 3]$, то $x = |a|$, $x = - 3$.