Замена переменной и решение относительно параметра

Другие типы рациональных уравнений и неравенств с параметрами Замена переменной В тех случаях, когда уравнение или неравенство cодержит неизвестное $x$ только в виде некоторой функции $f(x)$, удобно ввести новую переменную $t = f(x)$ и сначала решить уравнение или неравенство относительно переменной $t$. Пример 1.47. Условие В зависимости от значений параметра $a$ определите количество корней уравнения $$ 2 - \left(x^2 - x + 1 \right)\left(x^2 - x \right) = x^2 - x + a. $$ Решение Пусть $t = x^2 - x$. Тогда $$ \begin{array}{l} 2 - \left(x^2 - x + 1 \right)\left(x^2 - x \right) = x^2 - x + a\Longleftrightarrow 2-(t+1)t=t+a, \\ \mbox{ где } t = x^2 - x \Longleftrightarrow t^2+2t+a-2=0. \end{array} $$ Решая это квадратное уравнение относительно $t$, получаем $$ t_{1,2}=-1 \pm \sqrt{3-a} $$ при условии, что $a \leqslant 3$. Если $a>3$, то корней уравнения не существует, а, следовательно, нет корней и у исходного уравнения. Итак, В области $a \leqslant 3$ имеем два квадратных уравнения относительно $x$: $$ \left [ \begin{array}{l} x^2-x=-1+\sqrt{3-a},\\ x^2-x=-1-\sqrt{3-a}, \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left [ \begin{array}{l} x^2-x+1-\sqrt{3-a}=0,\\ x^2-x+1+\sqrt{3-a}=0. \end{array}\right. $$ Для существования корней этих уравнений нужно, чтобы их дискриминанты были неотрицательны: $$ \left [ \begin{array}{l} D_1=1-4(1-\sqrt{3-a}) \geqslant 0,\\ D_2=1-4-4\sqrt{3-a} \geqslant 0. \end{array}\right. $$ Однако второе неравенство не выполнено ни при каких $a$, поэтому далее рассматриваем только первое неравенство: $$ D_1 \geqslant 0 \Longleftrightarrow 1 \geqslant 4-4 \sqrt{3-a}\Longleftrightarrow \sqrt{3-a}\geqslant \frac{3}{4}\Longleftrightarrow a\leqslant \frac{39}{16}. $$ При этом условие $a \leqslant 3$, очевидно, выполнено. Если неравенство $a . Ответ если $a \in \left(-\infty; \frac{39}{16}\right)$, то два корня; если $a = \frac{39}{16} $, то один корень; если $a \in \left( \frac{39}{16}; +\infty \right) $, то нет корней. *Задача 1.48. Условие При каких значениях параметра $a$ уравнение $$ \left(x^2 - 2x \right)^2 - (a + 2) \left(x^2 - 2x \right) + 3a - 3 = 0 $$ имеет четыре корня? Совет Рекомендуется обозначить $x^2 - 2x$ за новую переменную $t$ и найти, при каких значениях параметра существует ровно два корня квадратного уравнения относительно $t$, и соответствующие уравнения относительно $x$ имеют по два различных корня. Решение Пусть $t=x^2-2x$: $$ t^2-(a+2)t+3a-3=0 \quad \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \quad D=(a+2)^2-12a+12 = a^2+4a+4-12a+12=a^2-8a+16=(a-4)^2 \quad \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \quad t_{1,2} = \frac{a+2 \pm (a-4)}{2} \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{aligned} &t = a-1 \\ & t = 3 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{aligned} &x^2-2x-3=0 \\ &x^2-2x-a-1=0 \end{aligned} \right. $$ Корни первого уравнения: $x=3, \; -1$. Для решения второго найдём частный дискриминант: $$ \frac{D}{4} = 1+a-1=a \quad \Leftrightarrow \quad x = 1 \pm \sqrt{a} \quad (a>0) $$ Имеем 4 решения: $$ \left[ \begin{aligned} &x = 3 \\ &x = -1 \\ &x = 1 + \sqrt{a} \\ &x = 1 - \sqrt{a} \end{aligned} \right. $$ Проверим корни на свопадение: $$ 1) \quad 3 = 1+\sqrt{a} \quad \Leftrightarrow \quad a = 4; $$ $$ 2) \quad -1=1-\sqrt{a} \quad \Leftrightarrow \quad a = 4. $$ Таким образом, при $a=4$, исходное уравнение имеет всего $2$ решения. Ответ $(0;4) \cup (4; +\infty)$.