Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра

Задачи на расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра Рассмотрим задачи, в которых не требуется найти корни квадратного трехчлена с параметром, а надо исследовать его свойства в зависимости от параметра. Конечно, можно найти решения квадратного уравнения (при условии $D \geqslant 0$) и использовать их для исследования, но выражения для квадратных корней содержат радикалы, что часто создает существенные технические трудности. Однако в большинстве случаев ответ на вопрос задачи можно дать, не находя корни в явном виде, а используя теорему Виета и свойства квадратичной функции. При этом удобно опираться на графическую интерпретацию задачи, то есть решать ее с помощью графика квадратичной функции - параболы. Пример 1.30. Условие Найти все значения параметра $m$, при которых корни уравнения $$ (m-5)x^2-3mx+m-2=0 $$ имеют разные знаки. Решение Пусть $f(x)=(m-5)x^2-3mx+m-2$, $x_1$ и $x_2$ - корни $f(x)=0$, $x_1 \leqslant x_2$. Тогда, если ветви графика (см. рис. 5) направлены вверх и корни разных знаков, то $f(0) 0$. И в том, и в другом случае условие неотрицательности дискриминанта, обеспечивающее существование корней, выполняется автоматически (если хотя бы одна точка параболы располагается ниже оси $Ox$ и ветви параболы направлены вверх, то обязательно найдутся точки, в которых парабола пересечет ось абсцисс, то есть будут существовать корни квадратного уравнения). Тогда получаем следующий алгоритм решения задачи: надо рассмотреть коэффициент при $x^2$ в зависимости от параметра: если $(m-5)=0$, то, очевидно, не может быть двух корней, так как уравнение вырождается в линейное. Если $(m-5)\ne 0$, приходим к двум системам: $$ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} m - 5 > 0,\\ f(0) = m - 2 0,\\ \end{array} \right. \end{array} \right. \Longleftrightarrow~~ 2 Ответ $ (2;5)$. Задача 1.31. Условие При каких значениях параметра $a$ один из корней уравнения $$ 2(a + 1)x^2 + a^2 x - 2 = 0 $$ больше 1, а другой меньше 1? Решение Значение $a=-1$ не подходит, так как уравнение имеет только один корень. Разделим на $a+1$: $$ f(x)=2x^2+\frac{a^2}{a+1}x-\frac{2}{a+1}=0. $$ График $f(x)$ Условием того, что один из корней меньше 1, а другой больше, будет: $$f(1) Воспользуемся методом интервалов: Тогда ответ: $$ a \in ( - \infty;- 2)\cup (- 1;0). $$ Ответ $ ( - \infty;- 2)\cup (- 1;0)$.