Рациональные системы с параметрами Часть 2

Решение. После выделения полного квадрата система принимает вид: $$ \left\{ \begin{array}{l} \ds (x - a)^2 + (y + 2a)^2 = (1 + a)^2,\\ \ds (x + 2a)^2 + (y - 2a)^2 = (2 + a)^2. \end{array} \right. $$ Если $a \ne - 1$, $a \ne - 2$, то уравнения описывают окружности радиусов $\ds R_1 = |1 + a|$ и $\ds R_2 = |2 + a|$ с центрами $\ds O_1(a; - 2a)$ и $O_2(- 2a; 2a)$ соответственно. Система имеет единственное решение в случае касания окружностей, внешнего (расстояние между центрами $\ds O_1O_2 = R_1 + R_2$) или внутреннего ($\ds O_1O_2 = \left|R_1 - R_2 \right|$). Найдем расстояние между центрами: $$ \ds O_1O_2 = \sqrt {9a^2 + 16a^2} = 5|a|. $$ Тогда $$ \left[ \begin{array}{l} \ds 5|a| = |a + 1| + |a + 2|,\\ \ds 5|a| = \left| |a + 1| - |a + 2| \vphantom{F^2} \right|. \end{array} \right. $$ Решениями первого уравнения совокупности являются $ a = 1$ и $\ds a = - \frac{3}{7}$. Решениями второго уравнения являются $\ds a = \pm \frac{1}{5}$. При $a = - 1$ первая окружность вырождается в точку, а при $a = - 2$ — вторая. Непосредственной подстановкой этих значений параметра в систему можно убедиться, что при данных $a$ система решений не имеет. Ответ: $\ds - \frac{3}{7}$; $ \ds - \frac{1}{5}$; $\ds \frac{1}{5} \vphantom{\int}$; $1$. Решение. В отличие от предыдущей задачи, уравнения данной системы уже приведены к виду $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, то есть мы имеем два уравнения окружностей: первая, с центром в точке $O_1(2a-3;a)$ и радиуса $R_1=1,5$, и вторая, с центром в точке $O_1(-3;a)$ и радиуса $R_2=|a+1|$. Единственное решение системы возможно либо при внешнем касании окружностей, либо при внутреннем. То есть либо расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов $R_1$ и $R_2$, либо их разности. Найдем расстояние между центрами: $\ds \sqrt{(2a-3+3)^2+(a-a)^2}=|2a|$. Тогда $$ \left[ \begin{array}{l} \ds R_1+R_2 = |2a|,\\ \ds |R_1-R_2| = |2a|, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \ds 1,5+|a+1| = |2a|,\\ \ds |1,5-|a+1|| = |2a|. \end{array} \right. $$ раскрываем стандартным образом модули в совокупности уравнений и из первого уравнения получаем $\ds a = \frac{5}{2}$. Решениями второго уравнения являются $\ds a = \frac{1}{6}$. При $a = - 1$ вторая окружность вырождается в точку. Непосредственной подстановкой этого значения параметра в систему можно убедиться, что тогда система решений не имеет. Ответ: $\ds \frac{5}{2}$; $\ds \frac{1}{6}$. Следующий пример интересен тем, что рассматривается непривычное сочетание кривых: окружность и гипербола.