"Графическая интерпретация решения систем уравнений и неравенств"

Графическая интерпретация решения систем уравнений и неравенств Рассмотрим сначала систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. $$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11} x + a_{12} y = b_1, \\ a_{21} x + a_{22} y = b_2. \end{array} \right. $$ Данная система допускает наглядную геометрическую интерпретацию — каждое из уравнений описывает прямую на координатной плоскости $Oxy$. Разберем возможные способы взаимного расположения этих двух прямых: Прямые пересекаются в одной точке . В этом случае система имеет единственное решение, представляющее собой пару чисел $(x;y)$, которые являются координатами точки пересечения этих прямых. Этот случай реализуется наиболее часто (см. рис. \ref{Sys_5.eps}). \caption{Прямые пересекаются в одной точке \label{Sys_5.eps}} {\example{\cite{10} Решите систему уравнений $$ \left\{ \begin{array}{l} 3 x - 5 y = 1, \\ 7 x + 2 y = - 25. \end{array} \right. $$}} Решение.\ {Мы можем решить задачу графически, нарисовав прямые, заданные в системе, и увидим их точку пересечения. Но чтобы найти значение $x$ и $y$, лучше решить систему. Прибавим первое уравнение системы, умноженное на 2 ко второму уравнению, умноженному на 5: $$ \left\{ \begin{array}{l} 3 x - 5 y = 1, \\ 6 x -10 y +35x +1-10 y=2 - 50, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 x - 5 y = 1, \\ 41x = -123. \end{array} \right. $$ Отсюда получаем решение системы: $$\left\{ \begin{array}{l} x = -3, \\ y = -2. \end{array} \right. $$ } Ответ: $x=- 3;~y= - 2$. {\problem {Решите систему уравнений $$ \left\{ \begin{array}{l} x - y = 1, \\ 3 x + 9 y = 0. \end{array} \right. $$}} Решение.\ {Снова строим две прямые, $y=x-1$ и $\ds y=-\frac{x}{3}$. Для получения координат точки пересечения решим систему, выразив $y$ из одного уравнения и подставив во второе, тогда получим,что $\ds x-1=-\frac{x}{3}\Longleftrightarrow x=\frac{3}{4}$. Тогда $y= - \frac{1}{4}$. } Ответ: $\ds x=\frac{3}{4};~y= - \frac{1}{4}$. Прямые параллельны. В этом случае не существует пары чисел, удовлетворяющих одновременно обоим уравнениям, поэтому система не имеет решения (см. рис. \ref{Sys_6.eps}). \caption{Прямые параллельны \label{Sys_6.eps}} {\example{\cite{10} Решите систему уравнений $$ \left\{ \begin{array}{l} 2 x - y = 3, \\ - 4 x + 2 y = 5. \end{array} \right. $$}} Решение.\ { $$ \left\{ \begin{array}{l} 2 x - y = 3, \\ - 4 x + 2 y = 5, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=2 x- 3, \\ - 4 x + 4x-6 = 5. \end{array} \right. $$ } Ответ: нет решений. Прямые совпадают , то есть представляют собой одну прямую. В этом случае координаты любой точки этой прямой будут удовлетворять системе, следовательно решений будет бесконечно много (см. рис. \ref{Sys_7.eps}). \caption{Прямые совпадают \label{Sys_7.eps}} {\example{\cite{10} Решите систему уравнений $$ \left\{ \begin{array}{l} 4 x + 6 y = 1, \\ 6 x + 9 y = 1,5. \end{array} \right. $$}} Решение.\ { $$ \left\{ \begin{array}{l} 4 x + 6 y = 1, \\ \ds 6 x + 9 y = \frac{3}{2}, \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 x + 6 y = 1, \\ 4 x + 6 y = 1, \end{array} \right. \Longleftrightarrow 4 x + 6 y = 1. $$ Координата $y$ может быть выражена через $x$ с помощью оставшегося уравнения $\ds y = \frac{1 - 4x}{6} $. Пусть $x=t, t \in \mathbb{R}$,тогда $ y=\frac{1 - 4t}{6}$. Решением будет однопараметрическое семейство точек $ \left(\ds t, \frac{1-4t}{6}\right), t \in \mathbb{R}$. Можно было поступить иначе, а именно выразить $x$ через $y$. Тогда $\left(y=p;\ds x = \frac{1 - 6p}{4}\right),~~ p\in \mathbb{R}$. } Ответ: $\ds x= t; ~y=\frac{1 - 4t}{6} $, $t \in \mathbb{R}$ и $\ds x=\frac{1 - 6p}{4}; ~y=p \vphantom{\int}$, $p \in \mathbb{R}$. В случае системы с фиксированными коэффициентами реализуется только один из рассмотренных трех случаев. Если же решается система уравнений с коэффициентами, зависящими от параметра, то различные значения параметра могут приводить к разным случаям. Такие задачи будут рассмотрены позже.