Замена переменных и использование однородных уравнений

{\example{\cite{29} МГУ, физический ф-т, 2003 (март), \No 5. Решите систему уравнений $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds \frac{18}{3x^2 + 2y} - \frac{14}{2x^2 - 5y} = 3, \\ \ds \frac{7}{2x^2 - 5y} + \frac{36}{3x^2 + 2y} = 1. \\ \end{array}} \right. $$}} Решение.\ {Для решения системы удобно ввести новые переменные: $\ds u = \frac{1}{3x^2 + 2y}$, $ \ds v = \frac{1}{2x^2 - 5y}$. Тогда в новых переменных система очень простая, и ее решение находится быстро. $$ \left\{ {\begin{array}{l} 18u - 14v = 3, \\ 7v + 36u = 1, \\ \end{array}} \right. \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \ds u = \frac{1}{18},\vphantom{\int} \\ \ds v = - \frac{1}{7}, \\ \end{array}} \right. $$ Возвращаясь к переменным $x$ и $y$, имеем систему $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds 3x^2 + 2y\; = 18, \\ \ds 2x^2 - 5y = - 7. \\ \end{array}} \right.\; $$ Решая эту систему, например, методом исключения переменных, получаем две пары решений $x=2;y=3$ и $x=-2;y=3$. Таким образом, мы свели решение исходной системы уравнений к решению двух более простых систем. Ответ: $x=2;y=3$ и $x=-2;y=3$. {\problem{\cite{10} Решите систему уравнений $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds x + y + xy = 7, \\ \ds x^2 + y^2 + xy = 13. \\ \end{array}} \right. $$}} Решение.\ { $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds x + y + xy = 7, \\ \ds x^2 + y^2 + xy = 13. \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \ds (x + y) + (xy) = 7, \\ \ds (x+y)^2 - (xy )= 13. \\ \end{array}} \right. $$ Сделаем замену $u=x+y$, $v=xy$. Тогда система примет вид; $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds u+ v= 7, \\ \ds u^2 -v = 13. \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \ds v = 7-u, \\ \ds u^2 - 7+u= 13. \\ \end{array}} \right. $$ Решаем квадратное уравнение относительно переменной $u$, находим потом $v$ и получаем систему $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds x + y = 4, \\ \ds xy = 3, \\ \end{array}} \right. $$ } которая легко решается. Ответ: $x = 1$; $ y = 3$ и $x =3$; $y = 1$. {\example{ МГУ, экономический ф-т (отделение планирования и экономической кибернетики), 1979 (июль), \No 4(5). Решите систему уравнений $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds 2x^2+y^2-4x+2y = 1, \\ \ds 3x^2-2 y^2-6x-4y=5. \\ \end{array}} \right. $$}} Решение.\ {Выделяем в уравнениях полные квадраты: $$ \begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{l} \ds 2x^2+y^2-4x+2y = 1, \\ \ds 3x^2-2 y^2-6x-4y=5, \\ \end{array}} \right. \Longleftrightarrow \\ \qquad\qquad \left\{ {\begin{array}{l} \ds 2 \left(x^2 - 2x + 1\right) - 2 + \left( y^2 + 2y + 1\right) - 1 = 1, \\ \ds 3 \left(x^2 - 2x + 1\right) - 3 - 2 \left( y^2 + 2y + 1\right) + 2 = 5, \\ \end{array}} \right. \Longleftrightarrow\\ \left\{ {\begin{array}{l} \ds 2 \left(x - 1\right)^2 + \left( y + 1\right)^2 = 4, \\ \ds 3 \left(x - 1\right)^2 - 2 \left( y + 1\right)^2 = 6. \\ \end{array}} \right. \end{array} $$ Вводим новые переменные $\ds u = (x - 1)^2$, $v = (y + 1)^2$. Система принимает вид: $$ \left\{ \begin{array}{l} \ds 2u + v = 4,\\ \ds 3u - 2v = 6, \end{array} \right. \Longleftrightarrow\\ \left\{ \begin{array}{l} \ds u = 2,\\ \ds v = 0. \end{array} \right. $$ Возвращаясь к исходным переменным, получим $$ \left\{ \begin{array}{l} \ds (x - 1)^2 = 2,\\ \ds (y + 1)^2 = 0, \end{array} \right. \Longleftrightarrow\\ \left\{ \begin{array}{l} \ds x = 1 \pm \sqrt 2,\\ \ds y = - 1. \end{array} \right. $$ } Ответ: $\ds x = 1 + \sqrt{2};~ y = - 1$ и $\ds x = 1 - \sqrt{2};~ y = - 1 $. {\problem{МГУ, экономический ф-т (отделение планирования и экономической кибернетики), 1979 (июль), \No 4(5). Решите систему уравнений $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds 5x^2 - 3y^2 + 10x - 12y = 17, \\ \ds 2x^2 + y^2 + 4x + 4y = - 2. \\ \end{array}} \right. $$}} Решение.\ {Преобразуем систему, выделяя полные квадраты: $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds 5(x^2+2x+1)-5-3 (y^2 + 4y+4) + 12 = 17, \\ \ds 2(x^2 +2x+1)-2+( y^2 + 4y +4)-4 = - 2, \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow $$ $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds 5(x+1)^2- 3(y+2) ^2 = 10, \\ \ds 2(x+1)^2+( y +2)^2 = 4. \\ \end{array}} \right. $$ Введем новые переменные $u=(x+1)^2$ и $v=(y+2)^2$. Тогда система примет вид: $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds 5u- 3v = 10, \\ \ds 2u+v = 4, \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \ds 5u- 3(4-2u) = 10, \\ \ds v = 4 - 2u, \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \ds u=2, \\ \ds v = 0. \\ \end{array}} \right. $$ Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds (x+1)^2=2, \\ \ds (y+2)^2 = 0, \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \ds x+1=-1\pm \sqrt 2, \\ \ds y= -2/ \\ \end{array}} \right. $$ } Ответ: $\ds x = - 1 + \sqrt{2};~ y = - 2$ и $\ds x = - 1 - \sqrt{2};~ y = - 2 $.