Исключение переменных

Системы рациональных алгебраических уравнений и неравенств По определению, решить систему уравнений или неравенств — значит найти те значения неизвестных, которые превращают уравнения или неравенства системы в верные числовые соотношения на области определения функций, входящих в систему. Начнем с систем рациональных алгебраических уравнений и рассмотрим на их примере основные методы решения систем. Аналитические методы решения систем уравнений: исключения переменных, замены переменных и перехода к однородному уравнению Один из наиболее часто используемых способов решения систем уравнений — исключение переменных. Исключение переменных Решение. Из второго уравнения следует, что $y=x$. Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение и получим $$ \left\{ {\begin{array}{l} 2 x + x = 1, \\ x -y = 0. \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x = \frac{1}{3}, \\ y = \frac{1}{3}. \\ \end{array}} \right. $$ ответ: $ x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{3}$. Теперь перейдем к чуть более сложной системе уравнений, где одно из уравнений квадратное. Решение. Из первого уравнения следует, что $x = 6 - 2y$. Подставляя это значение переменной $x$ во второе уравнение, после преобразований получаем квадратное уравнение относительно $y$: $$9y^2 - 39y + 30 = 0.$$ Решениями этого уравнения являются $\ds y = \frac{10}{ 3}\vphantom{\int}$ и $y = 1$, для которых находим значения переменной $\ds x=- \frac{2}{3}$ и $\ds x=4$ соответственно. Ответ: $\ds x= - \frac{2}{ 3}; y=\frac{10}{ 3}$ и $\ds x=4;y=1$ . Решение. $$ \left\{ {\begin{array}{l} y+y =5, \\ x^2 - xy - y^2 = 7 \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} y = 5-x, \\ x^2 -5x+x^2+25-10x+x^2 = 7 \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow$$ $$ \left\{ {\begin{array}{l} y = 5-x, \\ x^2-5x+6 = 0. \\ \end{array}} \right. $$ Решая систему, получаем ответ. Ответ: $x=2; y=3$ и $x=3; y=2$. В следующей системе оба уравнения квадратные. Решение. Для того, чтобы исключить одну из переменных, найдем несложное соотношение, связывающее две переменные. Для этого умножаем первое уравнение на 5, а второе на 2 и вычитаем первое из второго: $$ \left\{ {\begin{array}{l} \ds 2x^2+y^2+x-2y = 1, \\ \ds x+2y=3. \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \ds 9y^2-28y +20=0, \\ \ds x=3 -2y. \end{array}} \right. $$ Решаем квадратное уравнение относительно $y$, затем находим из второго уравнения $x$. Ответ: $x=-1,y=2$ и $\ds x=\frac{7}{9}, y=\frac{10}{9} . $