Уравнения и неравенства, содержащие модуль внутри модуля

Пример 3.36. Условие Решите неравенство $$ \left| \left| x^2 - 8x +2 \right| - x^2 \right| \geqslant 2x + 2. $$ Решение Неравенство эквивалентно совокупности неравенств: $$\left[\begin{array}{l} \left| x^2 - 8x +2 \right| \geqslant x^2+2x + 2, \\ \left| x^2 - 8x +2 \right| \leqslant x^2- 2x - 2, \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2 - 8x +2\geqslant x^2+2x + 2, \\ x^2 - 8x +2 \leqslant -x^2- 2x - 2, \\ \left\{\begin{array}{l} x^2 - 8x +2\leqslant x^2-2x - 2,\\ x^2 - 8x +2\geqslant -x^2+2x + 2, \end{array}\right. \end{array}\right. $$ $$ \qquad \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{l} x\leqslant 0, \\ x^2 - 3x +2 \leqslant 0,\\ \left\{\begin{array}{l} 3x \geqslant 2,\\ x^2 - 5x\geqslant 0, \end{array}\right. \end{array}\right.\Longleftrightarrow x \in (-\infty;0]\cup [1;2] \cup [5;+\infty). $$ Ответ $ ( - \infty; 0] \cup [1;2] \cup [5; +\infty)$. Задача 3.37. Условие Решите неравенство $$ \left| \frac{x^2-|x|-12}{x-3} \right|\geqslant 2x. $$ Решение Отметим, что все $x \in (-\infty ; 0)$ будут, решениями этого неравенства. Действительно, при данных $x$ модуль существует и неотрицательный, поэтому он больше любого отрицательного числа. Рассмотрим $x \in [0;+\infty)$, при этом внутренний модуль можно считать без дополнительных условий. $$ \left| \frac{x^2-x-12}{x-3} \right| \geq 2x \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{aligned} & \frac{x^2-x-12}{x-3} \geq 2x \\ & \frac{x^2-x-12}{x-3} \leq -2x \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow\quad \left[ \begin{aligned} & \frac{x^2-x-12-2x^2+6x}{x-3} \geq 0 \\ & \frac{x^2-x-12+2x^2-6x}{x-3} \leq 0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{aligned} & \frac{x^2-5x+12}{x-3} \leq 0 \\ & \frac{3x^2-x-12+2x^2-6x}{x-3} \leq 0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow\quad \left[ \begin{aligned} & x $$ \left[ \begin{aligned} & x \in (-\infty;3) \\ & x \in \left(-\infty;\frac{7-\sqrt{193}}{6}\right) \cup \left( 3;\frac{7+\sqrt{193}}{6}\right] \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ; 3) \cup \left( 3;\frac{7+\sqrt{193}}{6}\right]. $$ Мы рассматриваем неотрицательные $x$, поэтому: $$ x \in [0;3) \cup \left(3 ; \frac{7+\sqrt{193}}{6}\right]. $$ Окончательно: $$ x \in (-\infty;3) \cup \left(3 ; \frac{7+\sqrt{193}}{6}\right]. $$ Ответ $x \in (-\infty;3) \cup \left(3 ; \frac{7+\sqrt{193}}{6}\right].$